Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

среда, 20 января 2016 г.

Наибольшее и наименьшее значения функции (логарифмы и степени).



Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.
Продолжаем решать задания на нахождение наибольшего или наименьшего значений функции на заданном отрезке.

Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=e2x5ex2 на отрезке [−2;1].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−2;1] в ней содержится полностью.
Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции
y′ = (e2x5ex2 )′ = 2e2x5ex.
Решаем уравнение 2e2x5ex =0, после вынесения общего множителя получим  ex(2ex5)=0. Так как ex>0, то единственный корень находим из уравнения 2ex5=0, ex=2,5 или x=ln2,5. Этот корень принадлежит данному отрезку [−2;1].
Вычислим значение функции в точке x=ln2,5:
y(ln2,5)=e2*ln2,55e ln2,52 = (2,5)2 −5*2,5 −2 = 6,25 −12,5 −2= −8,25.
Убедимся, что это наименьшее значение функции на данном отрезке.
Для этого найдём значения производной функции в точках данного отрезка левее и правее точки
x=ln2,5. Учтём, что 0<ln2,5<1.
y′(0) = 2e2*05e0 =25 = 3<0.
y′(1) = 2e2*15e1 >0.
При переходе через точку x=ln2,5 производная меняет знак с 5 на +. Значит x=ln2,5 точка минимума и наименьшее значение функции на этом отрезке равно −8,25.
Ответ: −8,25.