Наибольшее и наименьшее значения функции (логарифмы и степени).

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Продолжаем решать задания на нахождение наибольшего или наименьшего значений функции на заданном отрезке.

Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=e^2x−5e^x−2 на отрезке [− 2; 1].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−2; 1] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции

y′ = (e^2x−5e^x−2 )′ = 2e^2x−5e^x.

Решаем уравнение 2e^2x−5e^x =0, после вынесения общего множителя получим  e^x(2e^x−5)=0. Так как e^x>0, то единственный корень находим из уравнения 2e^x−5=0, e^x=2,5 или x=ln2,5. Этот корень принадлежит данному отрезку [−2; 1].
Вычислим значение функции в точке x=ln2,5:

y(ln2,5)=e^2*ln2,5−5e ^ln2,5−2 = (2,5)² −5*2,5 −2 = 6,25 −12,5 −2= −8,25.
Убедимся, что это наименьшее значение функции на данном отрезке.
Для этого найдём значения производной функции в точках данного отрезка левее и правее точки x=ln2,5. Учтём, что 0<ln2,5<1.

y′(0) = 2e^2*0−5e⁰ =2−5 = −3<0.

y′(1) = 2e^2*1−5e¹ >0.

При переходе через точку x=ln2,5 производная меняет знак с −5 на +. Значит x=ln2,5 точка минимума и наименьшее значение функции на этом отрезке равно −8,25.

Ответ: −8,25.