Вова и Гоша решают задачи

 При выполнении тестовых заданий у некоторых учащихся возникли затруднения с решением задачи:

Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Приведем решение.

Остроугольный треугольник и полуокружность

Рассмотрим подробно решение задачи повышенной сложности по геометрии из сборника

контрольно-измерительных материалов ОГЭ. Она показывает, как важно в геометрической задаче правильно выполнить чертеж.

Задача. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АР в точке М, АР = 80, МР = 64, Н – точка пресечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Решение. Построим остроугольный треугольник АВС, на стороне ВС как на диаметре построим полуокружность. Проведем высоту АР, она, по условию, пересекает полуокружность в точке М.

Трапеция становится равнобедренной

Задача.
Дана трапеция, у которой длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение задачи:
1 случай. Пусть угол АОD равен 60 градусам. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. На прямой

AD за точкой D отложим отрезок DM = BC. Тогда AМ = a + b. Четырехугольник ВСМD – параллелограмм, так как отрезки ВС и МD равны и параллельны. Следовательно угол АСМ равен углу АОD и равен 60 градусам. В треугольнике АСМ имеем АС=АМ и угол АСМ равен 60 градусам, значит этот треугольник равносторонний. Углы САМ и СМА также равны 60 градусам. Но угол ВDМ равен углу СМА как односторонние при параллельных ВD и СМ и секущей АМ. Значит треугольник АОD равносторонний, треугольник ВОС тоже равносторонний.

Отсюда следует, что диагонали трапеции равны, значит трапеция – равнобедренная.

Задача для исследования

Рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из школьных олимпиад по математике.

Задача 1.
Через точку О, которая является центром окружности, проведена прямая, пересекающая окружность в точке А.  Радиус ОВ проведен так, что угол АОВ=60°. На прямой ОВ выбрана точка С так, что СК = ОВ, здесь К точка пересечения прямой ВС с данной окружностью. Найдите величину угла КСО.

Решение. Проведём радиус ОК, тогда треугольники ОКВ и ОКС – равнобедренные, ОК = ОВ как радиусы окружности, а ОВ =СК по условию задачи. Из свойства равнобедренного треугольника следует равенство углов ОВК = ОКВ и КОС = КСО. Заметим, что угол ОКВ является внешним углом треугольника ОКС и  равен сумме углов ОСК и СОК. Но углы ОСК и СОК равны, значит угол ОКВ равен двум углам ОСК. Если величину угла ОСК обозначим через х, величина углов ОКВ и ОВК равна 2х.  

Окружность в квадрате и касательная

Для решения следующих геометрических задач необходимо знать

соответствующие факты из планиметрии. В частности, свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки (их отрезки соединяющие исходную точку и точки касания равны), признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников, теорему Пифагора и другие.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение. а) По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки МН=МТ, NT=NR. Значит гипотенуза MN =МТ+ ТN =МН+ NR. Поэтому периметр треугольника AMN = АМ+ MN + AN = АМ+ МН+ NR + AN = АН + АR =АВ.

Гудок тепловоза и эффект Доплера

В этой  серии задач из открытого банка ФИПИ с практическим (физическим) содержанием необходимо уметь работать с алгебраическими дробями, производить преобразования этих дробей. А также делать не очень сложные вычисления с десятичными дробями.

Во всех задачах, представленных ниже, используется формула для расчёта частоты гудка тепловоза

  , формула (1). Здесь c — скорость звука в звука (в м/с).

Задание №41897  Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0=447 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (1). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 3 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=315 м/с. Ответ выразите в м/с.

Решение. Подставляя все данные в формулу (1), получаем

Равнобедренный треугольник, медиана

Планиметрия на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задачи из Открытого банка заданий по математике ФИПИ.

Задача. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

Решение. Так как медиана треугольника, это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, то АМ = МС = 24:2 = 12.

По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат катета ВМ мы должны из квадрата гипотенузы АВ вычесть квадрат катета АМ. ВМ² = АВ² – АМ² = 225 – 144 = 81. Значит ВМ = 9.

Ответ 9.

Задача. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна восьми корням из пяти. Найдите длину стороны АВ.

Проценты, рубашки, куртки...

Тренировочная работа 12, 19. Задание 11.

Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Решение. Пусть рубашка стоит а рублей. Тогда брюки стоят 1,3а. Теперь найдём сколько стоит пиджак. Его стоимость берём за 100%, а стоимость брюк будет 78%. Получаем пропорцию

100%  -  х

78%    -  1,3а

Отсюда х=130а/78 = 5а/3

Найдём какую часть стоимость рубашки составляет от  стоимости пиджака а : (5а/3) = 0,6. То есть стоимость рубашки составляет 60% от стоимости пиджака. Рубашка дешевле пиджака на 40%.

Ответ 40.

Найти площадь поверхности

Задача 14. Из сборника ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий. Под редакцией И.В. Ященко.

Задача по стереометрии из демонстрационного варианта 2016

Задание 14 из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень).

Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА₁ и А₁С₁ соответственно.

а) докажите, что прямые ВМ и МN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями ВМN и АВВ₁.

Решение. а) В треугольнике АВС проведём медиану ВН. Так как треугольник равносторонний, то ВН является и высотой. Тогда из треугольника АВН найдём квадрат катета ВН по теореме Пифагора ВН²=АВ² – АН² = 36 – 9 = 27.

Проценты и растворы.

Рассмотрим решение задачи 13 Тренировочной работы №6 сборника "ЕГЭ 2015. Математика.

50 вариантов типовых тестовых заданий" (под редакцией И.В. Ященко).
Условие. 
Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?
Решение. 

Куб. Построить сечение и найти его площадь.

Посмотрите чертежи и попробуйте решить задачи.