Сечение в правильной четырехугольной призме

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА₁ равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

Квадраты на сторонах треугольника

Напомним, что медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка является центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 (считая от вершины). Медиана, соединяющая вершину треугольника A с серединой стороны a, обозначается m_a.

Медиана треугольника, через стороны этого треугольника выражается формулой:

Здесь а, b, с – стороны треугольника,  m_a – медиана треугольника, проведённая к стороне а.

Тренировочная работа №8 задание 16.

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что СМ=0,5*DК.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16,  угол АСВ=150⁰.

 

Решение: а) Приведём два способа доказательства.

Квадраты на катетах прямоугольного треугольника

В решении следующей задачи используются метод площадей (площадь треугольника можно

находить разными способами) и свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (она равна половине гипотенузы, а середина гипотенузы является центром описанной окружности).

Тренировочная работа №6 задание 16.

Задача 1. На катетах AС и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

Решение:

Окружность в квадрате и касательная

Для решения следующих геометрических задач необходимо знать

соответствующие факты из планиметрии. В частности, свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки (их отрезки соединяющие исходную точку и точки касания равны), признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников, теорему Пифагора и другие.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение. а) По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки МН=МТ, NT=NR. Значит гипотенуза MN =МТ+ ТN =МН+ NR. Поэтому периметр треугольника AMN = АМ+ MN + AN = АМ+ МН+ NR + AN = АН + АR =АВ.

Квадраты на катетах треугольника

Тренировочная работа №13. Задание 16.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM перпендикулярна DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.

Решение.

а) Треугольники АВС и DСK равны, так как ÐDСK = ÐАСВ = 90°, DС=АС – стороны одного квадрата, КС=ВС – стороны другого квадрата.