Сечение правильной четырехугольной пирамиды

 

Решение задания 14 варианта 28 (ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – Москва : Издательство «Национальное образование», 2025. – 224 с.)

 14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1:Ö2. Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

 

Решение.

а) Пусть SН — высота пирамиды SABCD. Пирамида правильная, значит Н — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как ребро ВS перпендикулярно α, то ВS перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости α. Следовательно, ВS перпендикулярно DМ. Обозначим точки пересечения плоскости α с ребрами АS и СS буквами К и N, соответственно. Тогда ВS перпендикулярно КМ и NМ.

Как решать стереометрию на ЕГЭ

Очень полезная информация для решающих стереометрические задачи, интересные подходы к решению от Бориса Трушина.

Основание пирамиды - трапеция

Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90⁰. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем ∠BAD+∠ADC=90⁰, значит ∠AКD=90⁰.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

В правильной треугольной призме

Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА₁В₁С₁  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К₁. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А₁В₁ в точке L₁. Соединим точки К и L₁, L и К₁. В сечении получили трапецию КL₁LК₁.

Примеры оценивания решений заданий №14 ЕГЭ

На сайте ФИПИ опубликованы Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Рассмотрим блок примеров на оценивание экспертами заданий №14 (стереометрические задачи).

Критерии проверки и оценка решений задания 14 ЕГЭ–2018

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Примеры оценивания выполнения задания 14

 Пример 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝛾  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝛾.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝛾.

Ответ: б) 6√3.

Сечение в правильной четырехугольной призме

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА₁ равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

Найти объем пирамиды

Приведем решение задачи по стереометрии из открытого банка заданий ФИПИ по математике ( в КИМах они идут под номером 14), за решение таких задач можно получить 2 первичных балла. Перед началом решения вспомним свойства перпендикулярных плоскостей.
Теорема. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Теорема. Если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90°. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Решение. а) Плоскости PAB и PCD имеют две общих точки Р и К, значит они пресекаются по прямой РК. Но, если две плоскости, перпендикулярные третей плоскости пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Значит РК перпендикулярна плоскости АВС, прямым АВ и CD лежащим в плоскости АВС. Но тогда АКD – линейный угол двугранного угла АРКD. В треугольнике АКD по условию сумма углов BAD и ADC равна 90 градусам, значит третий угол АКD равен 90 градусам. Значит двугранный угол АРКD – прямой. Что и требовалось доказать.

Решение стереометрических задач ЕГЭ от Бориса Трушина

Угол между плоскостями

В приведённой ниже подборке заданий из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение углов между плоскостями в правильной треугольной призме. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  Для того, чтобы найти двугранный угол (угол между двумя плоскостями, надо найти его линейный угол. Линейный угол образован перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными из одной точки, но в разных полуплоскостях (гранях).

Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 4, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость имеет с основанием АВС общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Найдём еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для основания АВС и плоскости АDВ₁. Значит эти плоскости пересекаются по прямой АК.

Найти площадь поверхности

Задача 14. Из сборника ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий. Под редакцией И.В. Ященко.

Задача по стереометрии из демонстрационного варианта 2016

Задание 14 из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень).

Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА₁ и А₁С₁ соответственно.

а) докажите, что прямые ВМ и МN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями ВМN и АВВ₁.

Решение. а) В треугольнике АВС проведём медиану ВН. Так как треугольник равносторонний, то ВН является и высотой. Тогда из треугольника АВН найдём квадрат катета ВН по теореме Пифагора ВН²=АВ² – АН² = 36 – 9 = 27.

Стереометрия 10. Задачи ЕГЭ.

Задание 9 (из ОБЗ) Вариант 1 (10 класс)

1.    В цилиндрический сосуд налили 1200 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

2.    В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1600 см³ воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

3.    Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

4.    Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 9 и 7. Объем параллелепипеда равен 189. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.