Трапеция с тремя равными отрезками

Ну вот и пришло время начинать очередную подготовку к ЕГЭ по математике. С

десятиклассниками решаем на дополнительных занятиях 16 задания по планиметрии из сборника под редакцией И.В. Ященко.

Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ АС разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DB — биссектриса угла ADС .

б) Найдите АВ, если известны длины диагонали трапеции: BD = 8 и AC = 5.

Решение.

а) Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то ВС=АС. Так как треугольник АСD равнобедренный с основанием АD, то АС= СD. Получаем ВС=АС=АD, следовательно, треугольник ВСD равнобедренный и угол СВD равен углу СDВ. Но углы СВD и ВDА – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей ВD, следовательно они равны. Значит  угол СDВ равен углу ВDА и  AC — биссектриса угла BAD.

В каком отношении прямая делит сторону

Тренировочная работа №1 задание 16.

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos ∠ABC = ‍1/6.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Решение. а) Пусть ∠ABL = ∠СBL =a. Тогда ∠AСB = ∠ABС = 2a (треугольник ABC равнобедренный с основанием BC),  ∠LDB = ∠LBС = a (треугольник LDB равнобедренный с основанием BD). В треугольнике DСL, внешний угол угол BСL равен 2a, а так как один из внутренних несмежных с ним ∠LDB = a, то и второй ∠DLС =a, и треугольник является равнобедренным.

б) В треугольнике ABC проведём высоту АН. В прямоугольном треугольнике ABН cos∠ABC = ‍1/6, значит ВН:АВ = 1/6, то есть АВ = АС = 6ВН. ВС =2ВН. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон: АL: LС = АВ:ВС = 6ВН:2ВН =3:1.

Значит LС = АС/4 = 0,25 АС.

Далее можно пойти несколькими путями.

Равнобедренный треугольник, медиана

Планиметрия на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задачи из Открытого банка заданий по математике ФИПИ.

Задача. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

Решение. Так как медиана треугольника, это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, то АМ = МС = 24:2 = 12.

По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат катета ВМ мы должны из квадрата гипотенузы АВ вычесть квадрат катета АМ. ВМ² = АВ² – АМ² = 225 – 144 = 81. Значит ВМ = 9.

Ответ 9.

Задача. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна восьми корням из пяти. Найдите длину стороны АВ.