Углы между прямыми в кубе

Рассмотрим решения стереометрических задач из открытого банка заданий, расподоженного на сайте Федерального института педагогических измерений (ФИПИ). Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми в кубе.

Перед тем, как мы приступим к решению первой задачи, вспомним определение угла между скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

За­да­ние 1. Точка E — се­ре­ди­на ребра CC​₁ куба ABCDA​₁B₁C₁D₁. Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

Ре­ше­ние.

По условию, задача верна для любого куба. Для того чтобы в решении было меньше дробей, предположим, что ребро куба равно 2 единицам. Тогда CE=1 .

 Пря­мая AD па­рал­лель­на пря­мой BC, зна­чит, угол между пря­мы­ми BE и AD равен углу CBE.

 Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CBE с пря­мым углом С имеем:

tg ÐCBE = CE: CB =1:2 =0,5,

тогда ÐCBE = arctg0,5.

 Ответ: arctg0,5.

Перед решением второй задачи напомним теорему косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Новый аппарат для погружения

В публикуемой серии задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь выполнять действия с числами, находить корни третьей степени (в том числе методом подбора).

Задание №41693  На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: FA=ρgl³, где l — длина ребра куба в метрах, ρ=1000 кг/м³ — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 2817460,8 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение. Подставляем все имеющиеся данные в формулу

2817460,8 = 1000*9,8*l³, разделив обе части уравнения на 9,8 и на 1000 получаем

l³ = 287,496 извлекая кубический корень получаем l = 6,6 м.

Ответ 6,6.

Куб, задачи

Куб. Задачи.

1.      Площадь поверхности куба равна 1568. Найдите его диагональ.

2.      Объем куба равен 125. Найдите площадь его поверхности.

3.      Диагональ одной из граней куба равна квадратному корню из двенадцати. Найдите его объем.

4.      Диагональ куба равна квадратному корню из четырёхсот тридцати двух. Найдите его объем.

5.      Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.

6.      Если каждое ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 117 см³. Чему равно ребро куба?

7.      Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Куб. Построить сечение и найти его площадь.

Посмотрите чертежи и попробуйте решить задачи.

Марафон для 5-6 классов.