Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

четверг, 4 января 2018 г.

Сечение в правильной четырехугольной призме



Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.
Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА1 равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C1L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая А1С перпендикулярна плоскости g.
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А1, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.
Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

Через точку К проводим прямую параллельную ВD до пересечения с CD в точке М. Значит КМ перпендикулярна АС (так как диагонали квадрата BD и АС перпендикулярны).

Треугольники BCD и СКМ подобны (оба прямоугольные и равнобедренные), значит СМ=КС=2. По теореме Пифагора из треугольника СКМ находим, что КМ=2√2, а из треугольника BCD BD=5√2. Диагонали квадрата равны, значит и АС= BD=5√2.
Теперь, через точку L проводим прямую параллельную ВD до пересечения с B1C1 в точке Т. По отрезку ТL плоскость КМL пересечет верхнее основание (Если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то линии пересечения будут параллельны). Значит ТC1= C1L =1. Из треугольника ТLC1 по теореме Пифагора ТL=√2.
В равнобедренной трапеции КТLМ точка Н – середина верхнего основания, точка N - середина нижнего основания, значит НN – высота трапеции, НN перпендикулярна КМ. Значит КМ перпендикулярна плоскости АА1С, в том числе и прямой А1С.
Рассмотрим диагональное сечение призмы прямоугольник AA1C1С. Из точки Н опустим перпендикуляр на АС. Тогда NЕ=ЕС= НC1 =0,5√2. НЕ= СC1 =√5.

В треугольниках АА1С и NРС угол РСА – общий. Тангенс угла АА1С равен 5√2: √5=√10 Тангенс угла НNЕ из треугольника НNЕ равен √5: 0,5√2=√10. Значит углы АА1С и НNЕ равны. Но тогда и оставшиеся углы А1АС= NРС=90. Имеем А1С перпендикулярна прямым НN и КМ, значит А1С перпендикулярна плоскости трапеции КТLМ. Что и требовалось доказать.
Для того, чтобы найти объем пирамиды А1КТLМ, надо найти площадь трапеции КТLМ и высоту А1Р. Из треугольника НNЕ по теореме Пифагора НN2=5,5. Площадь трапеции КТLМ равна НN*(ТL+КМ)/2=√5,5*(√2+ 2√2)/2=1,5√11.
Найдем высоту А1Р. А1Н= А1С1- НС1= 5√2- 0,5√2= 4,5√2.

Из подобия треугольников А1С1С и А1РН имеем А1Р: А1С1= А1Н: А1С,
А1Р= А1С11Н: А1С= 5√2 *4,5√2: √55=45/√55.
Находим объем пирамиды А1КТLМ: V=1,5√11*45/(3√55)=4,5√5.
Ответ 4,5√5.