Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 6 января 2018 г.

Трапеция и прямоугольный треугольник



Рассмотрим еще одну задачу уровня 26 задачи КИМов ОГЭ, где трапецию необходимо достраивать до треугольника.
Задача. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=18.
Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е. Так как сумма углов А  и D равна  90, то угол Е – прямой. Обозначим центр окружности буквой О, а точку касания окружности и стороны CD буквой Р. Тогда радиус ОР перпендикулярен касательной CD. Опустим перпендикуляр из центра окружности на хорду АВ, тогда он является и медианой, АН=ВН=9.

В результате видим, что ОНЕР – прямоугольник и НЕ=ОР=R, где R – радиус окружности.
ВЕ= R - 9.
Треугольники АЕD и ВЕС подобны по первому признаку ( угол Е – общий, углы ЕСВ и CDА – соответственные при параллельных ВС и АD и секущей CD). Получаем пропорцию
ВЕ:АЕ=ВС: АD, (R – 9):( R + 9)=3:39, 39*(R – 9)=3*(R + 9), 13*(R – 9)=R + 9, R =10.
Ответ 10.

Задачи для самостоятельного решения.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 37 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=14.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 45 и 15, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=9.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 30 и 10, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=13.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 46 и 23, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 45 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 31, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 39 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=24.