![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFBJozQXcued1GJe0gk7VgKPZTMSl-BuoLWcj6hKjadmSqyym3QZokPkgzKdTZXMRksJFiVUe9xSLV8myPXOhj1a-8tlLgNFWLVoipx6B_MJKYoHeylY73ps36vDqcWMyWMAAVs0m87RM/s320/%25D0%25A2%25D1%2580-%25D0%25BA+%25D0%25B8+%25D0%25BE%25D0%25BA%25D1%2580.png)
Задача. Дан
прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка Р.
Окружность с центром О и диаметром СР касается гипотенузы в точке К.
а) Докажите,
что прямые РК и ОВ параллельны.
б) Найдите площадь
четырёхугольника ВОРК, если СК=4 и АР:РС=1:3.
Решение. а) Поскольку прямая ВС проходит через точку С
окружности и перпендикулярна радиусу ОС, то ВС- касательная к данной
окружности. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки,
прямая ВО перпендикулярна прямой СК. Так как ОК – радиус, проведенный в точку
касания, то ОК перпендикулярен АВ. Угол РКС – вписанный и опирается на диаметр
РС, значит угол РКС – прямой. Так как прямая
ВО перпендикулярна СК и прямая РК перпендикулярна прямой СК, то они
параллельны.
б) Предположим АР=2х, следовательно АМ=6х.
Тогда ОС=3х, ОА=5х, АС=8х. По свойству
касательных, проведенных из одной точки отрезок ВО - биссектриса угла АВС. В
треугольнике АВС по свойству биссектрисы
ВС:АВ=ОС:ОА=3х:5х=3/5.
Предположим
АВ=5а, тоглда ВС=3а. По теореме Пифагора в треугольнике
АВС АС2=АВ2–ВС2=25а2–9а2=16а2. АС=4а.
Получили
АС=8х=4а, значит а=2х. Следовательно, ВС=6х.
Отрезки ВО и СК пересекаются в точке Н. Тогда Н —
середина СК, а ОН — средняя линия треугольника СРК. Так как углы СРК и СОВ
равны (соответственные при параллельных ОВ и РК и секущей АС), прямоугольные
треугольники СРК и ВОС подобны по первому признаку, соответствующие стороны
пропорциональны
РК:ОС=СК:ВС. После подстановки получаем
РК: 3х=4:6х или
РК=4*3х:6х=2. Тогда ОР=РК/2=1.
Из
прямоугольного треугольника ВКО по свойству пропорциональных отрезков имеем:
КН2=ОН*ВН
или ВН=22/1=4.
Следовательно,
ВО=ВН+ОН=4+1=5.
По
формуле площади трапеции SВОРК=(ВО+РК)*КН/2=(5+2)*2/2=7.
Ответ:
б) 7.
Комментариев нет:
Отправить комментарий