Опять помогает окружность

Рассмотрим еще одну задачу школьного этапа всероссийской олимпиады по математике. В ней, дополнительно построенная окружность упрощает доказательство.

Задача. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором AB = BC, ⦟CBD =

2⦟ADB и ⦟ABD = 2⦟BDC. Докажите, что AD = DC.

Решение: Построим четырехугольник ABCD, на продолжении отрезка DB за точку B отметим точку К, так чтобы BК=BC=BA.

Четырёхугольник вписан в окружность

Рассмотрим решение задачи повышенной сложности под номером 26 из 22 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».
 В решении используются свойства вписанного
четырёхугольника, теоремы синусов и косинусов, свойства параллельных прямых.

Задача. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке Р, причём ∠AРB=60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение. Проведем прямую АК параллельно диагонали BD до пересечения с окружностью в точке К. Тогда АBDК - вписанная трапеция, значит она равнобедренная и DК=АВ=5. По свойству параллельных прямых накрестлежащие углы ВРА и РАК равны, значит угол РАК тоже равен 60 градусам.

Как построить четырехугольник

Предлагаю вашему вниманию задачу о четырехугольнике с заданным отношением трех сторон. Она мне попалась недавно в проверочной работе студента-заочника. Задача интересна тем, что ключевую роль в ней играет неожиданно появляющийся равносторонний треугольник, активно используются свойства биссектрисы треугольника, теоремы косинусов и Пифагора. Решение задачи полезно знать учащимся, решающим задачи повышенного уровня сложности.

Задача. Построить четырехугольник АВСD, длины сторон АВ, ВС и СD которого относятся как 1 : 3 : 2, а диагонали являются биссектрисами углов АВС и ВСD.

Решение. Анализ. Допустим мы такой четырехугольник АВСD построили, 0 – точка пересечения диагоналей. Обозначим длину стороны АВ буквой b, тогда ВС=3b, а СD=2b. Возьмём на ВС точку К, так чтобы ВК=АВ= b. Тогда КС= СD=2b.