Опубликованы демоверсии КИМ ЕГЭ и ОГЭ 2017 года

Осенью 2016 года проходило широкое общественно-профессиональное обсуждение проектов

кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников, спецификаций КИМ, демонстрационных вариантов КИМ ЕГЭ и ОГЭ 2017 года по 14 учебным предметам.

Итоги обсуждения подведены. Документы, определяющие разработку контрольно-измерительных материалов ЕГЭ и ОГЭ 2017 года, утверждены и размещены на сайте ФИПИ: ЕГЭ /Демоверсии, спецификации, кодификаторы

 МАТЕМАТИКА (1.3 Mb) 

 ФИЗИКА (1 Mb) 

 ИНФОРМАТИКА и ИКТ (859.3 Kb)

 ОГЭ/Демоверсии, спецификации, кодификаторы

 МАТЕМАТИКА (1 Mb) 

 ФИЗИКА (1 Mb) 

 ИНФОРМАТИКА и ИКТ (940.1 Kb)

Поезд за окошком промелькнул

Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий по математике Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) для проведения ОГЭ на движение поездов (или, более обобщённо, на движение протяжённых тел).

Рассмотрим несколько ситуаций: определение длины поезда проезжающего мимо

• придорожного столба
• идущего параллельно путям пешехода
• другого двигающегося поезда

Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 150 км/ч, проезжает мимо столба за 6 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение. Если поезд движется мимо столба (светофора, человека), то он проходит расстояние S равное его длине. Так как время прохождения поезда мимо столба задано в секундах, то найдем, сколько метров он проходит за каждую секунду: 150 км/ч = 150*1000/3600=1500/36=250/6 м/с.

За 6 секунд поезд прошёл 260/6*6=250 метров. Это и есть его длина.

Ответ: 250.

Средняя скорость на ОГЭ

Средняя скорость – не самое сложное понятие в математике и физике. Однако простота этого понятия довольно часто оказывается обманчивой. Необходимо постоянно помнить, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь. Рассмотрим серию задач из открытого банка заданий по математике Федерального института педагогических измерений (ФИПИ) для проведения ОГЭ.

Задача 1. Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения необходимо весь пройденный путь разделить на всё затраченное время. В задаче сказано о трёх участках пути, длина каждого известна. Найдём время движения на каждом участке.

105:35=3 (часа)

120:60=2 (часа)

500:100=5 (часов)

Всё затраченное время равно 3+2+5=10 час.

Длина пройденного пути 105+120+500=725 км.

Средняя скорость равна 725:10=72,5 км/час.

Ответ: 72,5

Шедевры математической программы

 Шедевры, созданные в  GeoGebra;
 GeoGebra — это бесплатная, кроссплатформенная динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете.
Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями)
Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем). Переведена на 39 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Полностью поддерживает русский язык.
В июне 2013 года впервые в истории российских научно-методических журналов вышел специальный выпуск Европейского журнала современного образования (European Journal of Contemporary Education, ISSN 2304-9650), посвящённый использованию GeoGebra в учебном процессе (приглашённая редколлегия: доктор педагогических наук Дэниэл Джарвис, Университет Ниписсинг, Канада и кандидат физико-математических наук Рушан Зиатдинов, Университет Фатих, Стамбул, Турция). https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

linear & angular velocity

Участвуй!

Стартовал IV сезон Олимпиады Фоксфорда для учеников 5-11 классов!Участвуй, защити честь школы и выиграй Apple iPad! → http://foxford.ru/I/bg
 Подробности:
• Участие в олимпиаде бесплатное.
• Сроки проведения — с 1 сентября по 30 сентября.
• Олимпиада проводится по математике, русскому языку, информатике, физике, биологии, химии, обществознанию, английскому языку и истории для учеников 5-11 классов.
• Гарантированно ты получишь Сертификат — памятное свидетельство об участии!
• А если наберёшь максимальное количество баллов в своём классе, сможешь принять участие в розыгрыше ценных призов: брендированные толстовки, книги или Apple iPad Mini 2!
Больше информации на сайте → http://foxford.ru/I/bg!

Окружность и подобные треугольники

Подобные треугольники очень часто встречаются при решении геометрических задач повышенной трудности на ЕГЭ по математике. И появляются подобные треугольники на чертежах порой очень неожиданно и на различных участках чертежа. Увидеть их не всегда легко. Особенно в хитросплетениях прямых, многоугольников, окружностей, хорд, касательных, биссектрис, медиан, диагоналей и т.д. Но научиться распознавать подобные треугольники необходимо, этим мы и займёмся. Рассмотрим серию задач, в которых подобные треугольники играют ключевую роль.

Задача 1. Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и М.

а) Доказать, что треугольники АВС и АМК подобны.

б) Найти МК и АМ, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.

Решение. Рассмотрим треугольники АВС и АМК. Угол ВАС у них общий. По свойству вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180 градусам, поэтому сумма углов АСВ и ВКМ равна 180 градусам. Но сумма смежных углов ВКМ и АКМ тоже равна 180 градусам. Значит, угол АКМ равен углу АСВ. Треугольники АВС и АМК подобны по первому признаку. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

АМ:АВ=МК:ВС=АК:АС или

АМ:2=МК:4=1:5, отсюда АМ=0,4 и МК = 0,8.

Ответ АМ=0,4 и МК = 0,8.

Две окружности в прямоугольной трапеции

 Рассмотрим решение ещё одной планиметрической задачи, связанной с окружностями, вписанными в прямоугольную трапецию.

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине А расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания ВС и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке М.

а) Докажите, что AМ:МD = sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 2,5 и 0,5.

Решение. а) Продолжим боковые стороны АВ и СD до пересечения в точке К. Треугольник АКD – прямоугольный. Если окружность вписана в угол, то её центр лежит на биссектрисе этого угла. Значит точки О, О₁, К и М лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла АКD. По свойству биссектрисы треугольника AМ:МD = АК:КD = sinD

Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.

Окружность, построенная на стороне параллелограмма

 Тренировочная работа №9 задание 16.

  Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре,

проходит через точку пересечения диагоналей.

а) Докажите, что ABCD – ромб.

б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=4:1. Найдите диагональ AC, если известно, что AD = 10.

Решение:

а) Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то угол AКD прямой и треугольник AКD является прямоугольным. Следовательно, диагонали параллелограмма AВСD перпендикулярны друг другу, что означает, что этот параллелограмм – ромб.