Задача для исследования

Рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из школьных олимпиад по математике.

Задача 1.
Через точку О, которая является центром окружности, проведена прямая, пересекающая окружность в точке А.  Радиус ОВ проведен так, что угол АОВ=60°. На прямой ОВ выбрана точка С так, что СК = ОВ, здесь К точка пересечения прямой ВС с данной окружностью. Найдите величину угла КСО.

Решение. Проведём радиус ОК, тогда треугольники ОКВ и ОКС – равнобедренные, ОК = ОВ как радиусы окружности, а ОВ =СК по условию задачи. Из свойства равнобедренного треугольника следует равенство углов ОВК = ОКВ и КОС = КСО. Заметим, что угол ОКВ является внешним углом треугольника ОКС и  равен сумме углов ОСК и СОК. Но углы ОСК и СОК равны, значит угол ОКВ равен двум углам ОСК. Если величину угла ОСК обозначим через х, величина углов ОКВ и ОВК равна 2х.  

Что продается на ОГЭ?

Итак, полным ходом идет подготовка к ОГЭ и ЕГЭ 2018. Опубликованы на сайте ФИПИ

проекты демонстрационных вариантов контрольно-измерительных материалов по всем предметам, в том числе по математике ОГЭ и ЕГЭ.

Мы сегодня приведём подборку задач на проценты из открытого банка заданий ФИПИ.

Первая серия задач. Одежда из спортивного магазина.

Задача 1. Спортивный магазин проводит акцию. Любая футболка стоит 300 рублей. При покупке двух футболок — скидка на вторую 70%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух футболок?

Решение. Футболка стоит 300рублей, это 100% стоимость, найдем, сколько будет стоить вторая футболка. Её стоимость составляет 100 – 70 = 30 процентов от стоимости первой. Получаем

100%    -   300 рублей

30%      -   х рублей.

х = 300:100*30 = 90 рублей.

за покупку двух футболок придётся заплатить 300 + 90 = 390 рублей.

Ответ 390.

Питерские чудесные творения

Пазлы, созданные в Санкт-Петербурге в перерывах между семинарами, лекциями, мастерклассами, экскурсиями, квестами и т.д.

204 Стрелка Васильевского острова

204 Адмиралтейский шпиль

Собираем пазлы, цветы

Лето, каникулы. Есть повод немного отдохнуть и потренировать мозг одновременно. Собираем пазлы.

120 Роза бордовая 

120 Лилии желтые

160 Флоксы

160 Три яблочка

КИМы досрочного ЕГЭ 2017

Есть возможность потренироваться в подготовке к единому государственному экзамену по математике на решении  реальных заданий,  на сайте ФИПИ опубликованы по одному варианту КИМ, использованных для проведения ЕГЭ досрочного периода 2017 года, по 14 общеобразовательным предметам.
По математике
Базовый  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/ma_baz_101.pdf
Профильный  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/maprof_101.pdf
По информатике http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/inf_101_0.pdf
По физике  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/fi_101.pdf

Объекты Солнечной системы на ОГЭ

Задача 1. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?

Планета	Марс	Меркурий	Нептун	Сатурн
Расстояние (в км)	2,28⋅108	5,79⋅107	4,497⋅109	1,427⋅109

1	2	3	4
Марс	Меркурий	Нептун	Сатурн

Решение. Ближе всех к Солнцу Меркурий, он находится на расстоянии 5,79⋅10⁷ км = 57 900 000 км.

Ответ 2.

Как построить четырехугольник

Предлагаю вашему вниманию задачу о четырехугольнике с заданным отношением трех сторон. Она мне попалась недавно в проверочной работе студента-заочника. Задача интересна тем, что ключевую роль в ней играет неожиданно появляющийся равносторонний треугольник, активно используются свойства биссектрисы треугольника, теоремы косинусов и Пифагора. Решение задачи полезно знать учащимся, решающим задачи повышенного уровня сложности.

Задача. Построить четырехугольник АВСD, длины сторон АВ, ВС и СD которого относятся как 1 : 3 : 2, а диагонали являются биссектрисами углов АВС и ВСD.

Решение. Анализ. Допустим мы такой четырехугольник АВСD построили, 0 – точка пересечения диагоналей. Обозначим длину стороны АВ буквой b, тогда ВС=3b, а СD=2b. Возьмём на ВС точку К, так чтобы ВК=АВ= b. Тогда КС= СD=2b.

Решения задач на движение

 Предлагаем решения задач на движение из банка заданий ФИПИ для подготовки к ОГЭ. Решения от учащихся 8 класса Харламовской школы Безроднова Кирилла и Олейникова Ивана.

№3  Два автомобиля одновременно отправляются в 630-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение. По условию заполним таблицу:

	S	V	t
Первый авто	630	x+24	630/(x+24)
Второй авто	630	x	630/x

Составляем уравнение по условию задачи

Докажите, что данный параллелограмм...

Решим два вида заданий из раздела "геометрия" экзамена по математике в 9 классе.

Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.

Число на координатной прямой

 Продолжаем подготовку к итоговой аттестации. Рассмотрим два вида задач, предлагаемых на ОГЭ в 9 классе, на расположение чисел на координатной прямой. Подобные задания встречаются и на ЕГЭ (базовый уровень) в 11 классе.

Задание 1. На координатной прямой отмечено число a. (рисунок 1)

Расположите в порядке возрастания числа a −1, 1/a, a

Варианты ответа

1) a, 1/a, a−1.       2) a −1, 1/a, a.

3) a −1, a, 1/a.        4) 1/a, a −1, a.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.