Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 7 мая 2017 г.

Как построить четырехугольник



Предлагаю вашему вниманию задачу о четырехугольнике с заданным отношением трех сторон. Она мне попалась недавно в проверочной работе студента-заочника. Задача интересна тем, что ключевую роль в ней играет неожиданно появляющийся равносторонний треугольник, активно используются свойства биссектрисы треугольника, теоремы косинусов и Пифагора. Решение задачи полезно знать учащимся, решающим задачи повышенного уровня сложности.
Задача. Построить четырехугольник АВСD, длины сторон АВ, ВС и СD которого относятся как 1 : 3 : 2, а диагонали являются биссектрисами углов АВС и ВСD.
Решение. Анализ. Допустим мы такой четырехугольник АВСD построили, 0 – точка пересечения диагоналей. Обозначим длину стороны АВ буквой b, тогда ВС=3b, а СD=2b. Возьмём на ВС точку К, так чтобы ВК=АВ= b. Тогда КС= СD=2b.

Обозначим точку пересечения прямой КО со стороной АВ буквой Н.
Рассмотрим треугольники КОС и ОСD, у них общая сторона ОС и равные стороны СD и КС, углы КСО и ОСD равны по условию (АС – биссектриса). Значит треугольники КОС и ОСD равны по первому признаку равенства треугольников. Значит ОК= ОD, углы КОС и СОD равны.
Далее рассмотрим треугольники КОВ и АОВ, у них тоже есть общая сторона ОВ и равные стороны АВ и КВ, углы КВО и ОВА равны по условию (ВD – биссектриса). Значит треугольники КОВ и АОВ равны по первому признаку равенства треугольников. Значит ОК= ОА, углы КОВ и АОВ равны.
Теперь заметим, что углы АОВ и СОD, ВОК и DОН, АОН и КОС – вертикальные, а значит равны. Но тогда равны все шесть углов АОВ, СОD, ВОК, DОН, АОН, КОС и равны 360:6 = 60 градусам. А треугольник АКD – равносторонний (следует из равенства треугольников АОК, КОD и АОD).  Следовательно АК=КDD.
Рассмотрим треугольник ВОС, у него угол ВОС равен 120 градусам, а ОК – биссектриса этого угла. Так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон, то ОС=2ВО. По теореме косинусов имеем ВС2=ВО2+СО2 – 2*ВО*СО*cosÐВОС или
(3b)2= ВО2+(2ВО)2 – 2*ВО*2*ВО*(–0,5),
9b2= 7ВО2 или ВО=3b/
Из треугольника ВКО по теореме косинусов имеем
ВК2=ВО2+КО2 – 2*ВО*КО*cosÐВОК или
b2=9b2/7+КО2 – 2*3b/*КО*0,5.
0=2b2/7+КО2 –3b/*КО. Умножая обе части уравнения на 7 получаем квадратное уравнение относительно КО.
7КО2 –3b*КО + 2b2 =0, решения КО=2b/ и КО=2b/. Рассмотрим первый случай, КО=2b/. Тогда по свойству медиан треугольника КН=КО*3/2= 3b/. То есть ВО=КН, а СО=2КН.
Из этого равенства вытекает порядок построения искомого четырёхугольника.
Построение. Берём произвольный отрезок АD, строим правильный треугольник АКD со сторонами, равными АD. Далее строим биссектрисы углов А и D этого треугольника. Обозначаем точку пересечения этих биссектрис буквой О. Измерим длину биссектрисы треугольника АКD и отложим отрезок такой же длины на биссектрисе DО за точку О, получим вершину В. Продолжим прямую ВК до пересечения с биссектрисой АО, получим вершину С. Соединим последовательно вершины и получим искомый четырехугольник.

Доказательство. Докажем, что данный четырехугольник соответствует условию задачи. Докажем, что АС – биссектриса угла ВСD. Это вытекает из равенства треугольников АКС и АDС по первому признаку (АС – общая, АК= АD по построению, углы КАС и DАС равны, так как АС – биссектриса). Аналогично, из равенства треугольников АВD и ВКD вытекает равенство углов АВD и КВD, ВD – биссектриса угла АВС.
Теперь докажем, что АВ : ВС : СD = 1 : 3 : 2. Пусть ЕD=ВО=а. Выразим через а отрезок ЕК, равный половине стороны треугольника АКD (биссектриса в равностороннем треугольнике является высотой и медианой). В прямоугольном треугольнике ЕКD по Теореме Пифагора
КD2=ЕК2+ ЕD2 или (2ЕК)2=ЕК2+ а2, ЕК2= а2/3. ЕК= а/.
Далее из прямоугольного треугольника ВКО по теореме косинусов
ВК2 =ВО2+ ОК2 – 2*ВО*ОК*cosÐВОК или
ВК2 = а2+ (2а/3)2 – 2* а *2а/3 *1/2 = 7а2/9, ВК= а/3.
Найдем теперь отношение КС к ВК. Пусть оно равно k. Тогда отношение отрезков ОС и ВО тоже равно k, по свойству биссектрисы ОК угла ВОС.
Имеем КС= k*ВК, значит ВС = ВК + КС = ВК + k*ВК = (1 + k)*ВК.
В треугольнике ВОС по теореме косинусов
ВС2 =ВО2+ ОС2 – 2*ВО*ОС*cosÐВОС или
(1 + k)2*ВК2 = а2+ k2а2 – 2*а*k*а*(-1/2),
(1 + k)2*7а2/9 = а2+ k2а2 + kа2,
7а2 + 14 kа2 + 7k2а2 = 9а2+ 9k2а2 + 9kа2, разделив обе части на а2 получаем квадратное уравнение относительно k,
2k2 – 5k + 2 = 0, отсюда k = 2 и КС = 2 ВК. Отсюда АВ : ВС : СD = 1 : 3 : 2.
Второй корень квадратного уравнения k = 0,5 соответствует случаю СD : ВС : АВ = 1 : 3 : 2.
Исследование. Поскольку при построении мы брали произвольный отрезок АD, то четырехугольников с заданными свойствами можно построить бесконечно много.
Частный случай. Предположим, что b равно корню квадратному из семи. То есть ВК=АВ= , СК= СD = 2. Тогда ВО = DЕ = КН = 3.