До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Найдите площадь параллелограмма

 

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 6. Задание 25.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

 Решение.

Построим параллелограмм АВСD и окружность, вписанную в треугольник АВС с центром О. По условию АО=25, ОН=17, ОК=7. Вспомним, что центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения его биссектрис, поэтому   АО, ВО и ОС – биссектрисы углов ВАС, АВС и ВСА. Радиусы ОК, ОЕ и ОР соответственно перпендикулярны касательным АС, АВ и ВС.

Диагонали и средняя линия трапеции

 Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 7. Задание 25.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Решение. Построим трапецию АВСD с основаниями ВС и АD. Из условия АС=17, ВD =9. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то ВС+АD=5*2=10. Из вершины С трапеции проведем прямую, параллельную ВD, она пересечет прямую АD в точке Е. Получили параллелограмм ВСЕD, у которого ВС=DЕ, ВD=СЕ. Диагональ СD делит параллелограмм на два равных треугольника ВСD и СЕD. Значит площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ, у которого АС=17, СЕ=9, АЕ = АD+DЕ = АD+ВС=2*5 = 10.

По формуле Герона находим площадь треугольника АСЕ.

Р=(17+9+10)/2 =18. Значит площадь треугольника АСЕ равна корню квадратному из произведения 18(18-17)(18-9)(18-10) = 18*1*9*8. Значит площадь треугольника АСЕ равна 36.

Ответ 36.

Осенние напевы

Диагональ разбивает трапецию на два равнобедренных треугольника

 

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.

16 задания.

Вариант 3.

В трапеции АВСD основания AD и ВС. Диагональ АС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DВ – биссектриса угла ADС.

б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: ВD = 8 и АС = 5.

Решение.

а) По условию в треугольнике АВС ВС=АС, в треугольнике АСD АС=СD. Значит ВС=СD. Отсюда следует, что угол СВD равен углу СDВ. Далее заметим, что угол СВD равен углу АDВ как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей ВD. Следовательно, углы СDВ и АDВ равны.

б) Первый способ. Алгебраический.

На продолжении стороны АС

 
Рассмотрим геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.

16 задания

Вариант 1.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложили отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М.

а) докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС.

б) Найдите площадь трапеции AМВD, если площадь треугольника АВС равна 180 и известно отношение АС:АВ = 3:2.

Решение.

Вова и Гоша решают задачи

 При выполнении тестовых заданий у некоторых учащихся возникли затруднения с решением задачи:

Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах.

Приведем решение.

Трапеция, вписанная в окружность

 Рассмотрим задачу из учебника геометрии 8 класса, решение которой пригодится сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Решение. При построении чертежа к задаче необходимо учесть, что если диагональ вписанной трапеции перпендикулярна боковой стороне, то большее основание является диаметром описанной окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр).

Итак, в равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ = 12 см, диаметр AD = 20 см. Треугольник ABD – прямоугольный, из вершины прямого угла проведем высоту ВН. Так как квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Таким образом АН = АВ*АВ/АD = 12*12/20 = 7,2 см. Тогда средняя линия трапеции MN = НD = 20 – 7,2 = 12,8 см.

Подобные задачи:

День российской науки

 8 февраля отмечается День российской науки. Специально к этому празднику мы подготовили познавательный и нескучный тест.

День российской науки — праздник учёных и академиков, преподавателей и студентов, исследователей, которые посвятили себя сложному и увлекательному делу — научному познанию. Все помнят Ломоносова и Менделеева, Павлова и Циолковского и их выдающиеся достижения, но не все знают, что наши современники совершают не менее значимые открытия и прорывы в науке. Вот только некоторые из них.

• С 2000 по 2010 год физики из лаборатории имени Флёрова в Объединённом институте ядерных исследований в Дубне впервые синтезировали шесть самых тяжёлых элементов с атомными номерами со 113 по 118. Элемент с атомным номером 115 назван московием. Зачем они нужны? Юрий Оганесян, научный руководитель лаборатории, объясняет это тем, что учёные могут разобраться в процессах образования элементов в природе и, возможно, даже ответить на один из важнейших вопросов науки: где лежит граница нашего материального мира?
• В нижегородском Институте прикладной физики РАН учёные разработали один из самых мощных лазерных комплексов в мире — установку PEARL (PEtawatt pARametric Laser), которая способна выдать световое излучение мощностью 0,56 петаватт (1 петаватт = 1015 ватт). С помощью такого лазера можно исследовать экстремальные физические процессы и проводить термоядерные реакции.
• В 2021 году специалисты Российского квантового центра и Физического института имени Лебедева РАН создали прототип квантового компьютера на ионах, применив кудиты — многоуровневые носители информации. В ближайшие несколько лет учёные планируют создать универсальный квантовый компьютер с облачным доступом.
• Химики и биологи Уральского федерального университета в сотрудничестве с учёными Института цитологии РАН и Института органического синтеза имени И. Я. Постовского синтезировали соединения, которые могут остановить дегенерацию нейронов при таких тяжёлых заболеваниях, как болезнь Альцгеймера, болезнь Паркинсона и черепно-мозговых травмах, — новые молекулы рядов индолил- и пирролилазинов. Результаты исследования были опубликованы в 2021 году.

Большие учёные вырастают из ребят, увлечённых познанием. Таковы российские школьники, которые регулярно побеждают на международных олимпиадах по разным предметам и делают первые шаги в науке. Ко Дню российской науки ЯКласс подготовили тест о русских учёных, который познакомит вас с великими деятелями науки и раскроет их с новой стороны.

Начать проходить тест

Источник https://www.yaklass.ru/t-novosti/akcii-i-novosti-za-2022-god/stati-i-novosti-za-02-2022/neozhidannye-fakty-i-test-ko-dnyu-rossijskoj-nauki?mindbox-click-id=ff716b1e-9141-4496-9195-70d99d5f9317&utm_source=mindbox&utm_medium=email&utm_campaign=2022-02-04-t-test