Диагонали и средняя линия трапеции

 Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 7. Задание 25.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Решение. Построим трапецию АВСD с основаниями ВС и АD. Из условия АС=17, ВD =9. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то ВС+АD=5*2=10. Из вершины С трапеции проведем прямую, параллельную ВD, она пересечет прямую АD в точке Е. Получили параллелограмм ВСЕD, у которого ВС=DЕ, ВD=СЕ. Диагональ СD делит параллелограмм на два равных треугольника ВСD и СЕD. Значит площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ, у которого АС=17, СЕ=9, АЕ = АD+DЕ = АD+ВС=2*5 = 10.

По формуле Герона находим площадь треугольника АСЕ.

Р=(17+9+10)/2 =18. Значит площадь треугольника АСЕ равна корню квадратному из произведения 18(18-17)(18-9)(18-10) = 18*1*9*8. Значит площадь треугольника АСЕ равна 36.

Ответ 36.