Рассмотрим еще одну геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.
16 задания.
Вариант 3.
В трапеции АВСD основания AD и ВС. Диагональ АС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.
а) Докажите, что луч DВ – биссектриса угла ADС.
б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: ВD = 8 и АС = 5.
Решение.
а) По условию в треугольнике АВС ВС=АС, в треугольнике АСD АС=СD. Значит ВС=СD. Отсюда следует, что угол СВD равен углу СDВ. Далее заметим, что угол СВD равен углу АDВ как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей ВD. Следовательно, углы СDВ и АDВ равны.
б) Первый способ. Алгебраический.
Так как ВС= СD=АС=5. В треугольнике СВD известны все стороны и можно найти его площадь по формуле Герона. Полупериметр треугольника СВD равен (5+5+8)/2 = 9. Значит площадь треугольника СВD равна корню квадратному из произведения чисел 9*1*4*4. Площадь треугольника СВD равна 12.
С другой стороны площадь треугольника СВD равна 0,5* СD* ВD*sin СDВ, то есть
0,5* СD* ВD*sin СDВ = 12, подставляя длины сторон, получаем
0,5*5*8* sin СDВ = 12, отсюда sin СDВ = 0,6. Используя основное тригонометрическое тождество, находим cos СDВ = 0,8.
По формуле косинуса двойного угла находим, что cos СDА = 0,28. Далее мы знаем, что угол СDА равен углу САD, а угол САD равен углу ВСА (накрест лежащие при параллельных АD и ВС и секущей АС). Значит cos ВСА = 0,28. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения стороны АВ. Квадрат стороны АВ равен 5*5+5*5-2*5*5* 0,28 = 36. Значит АВ = 6.
б) Второй способ. Геометрический.
Проведем через вершину В прямую, параллельную диагонали АС, точку пересечения этой прямой с продолжением стороны АD обозначим буквой К. В результате мы получили параллелограмм КВСА. Так как ВС=АС=5, то КВСА – ромб. Диагональ АС ромба КВСА делит угол ВСА на два равных, а так как угол ВСА равен углу САВ и равен углу СDА, то угол ВСК равен углу СDВ. Легко заметить, что треугольники КВС и ВСD равны (у них углы ВСК, ВКС, СDА, САD равны, а значит равны и углы КВС и ВСD, стороны КВ, ВС и СD тоже равны) по первому признаку равенства треугольников. Значит СК= ВD=8.
Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то КО=ОС=4, ВО=ОА. В прямоугольном треугольнике ОВС гипотенуза ВС=5, катет ОС=4, по теореме Пифагора находим, что ВО=3. Значит АВ=6.
Второй способ проще, но надо увидеть дополнительное построение.
Задание для самостоятельного решения.
Вариант 4.
В трапеции АВСD основания AD и ВС. Диагональ АС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.
А) Докажите, что луч DВ – биссектриса угла ADС.
Б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: ВD = 12 и АС = 7,5.
Для решения задачи первым способом необходимо помнить:
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
Этот комментарий был удален администратором блога.
ОтветитьУдалить