Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 14 декабря 2015 г.

Наибольшее и наименьшее значения функции



Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или) наименьшее значение функции на отрезке.
1.    Находим область определения функции и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.
2.    Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.
3.    Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.
4.    Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках a и b.
5.    Из полученных значений функции выбираем наибольшее и (или) наименьшее.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции y = 2x3−12x2+18x+3 на отрезке [−1;2].
Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−1;2] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции
y′ = (2x3−12x2+18x+3)′ = 6x2−24x + 18.
Решаем квадратное уравнение 6x2−24x + 18 =0, после деления на 6 обеих частей уравнения получим  x2−4x + 3 =0.
Имеем два действительных корня: х1=1 и х2=3,  две критические точки. Первая х1=1  принадлежит данному отрезку [−1;2], а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х1=1:
y(1) = 2*13−12*12+18*1+3 = 2-12+18+3 =11.
Вычислим значения функции  на концах отрезка:
y(-1) = 2*(-1)3−12*(-1)2+18*(-1)+3 = -2-12-18+3 =-29.
y(2) = 2*23−12*22+18*2+3 = 16-48+36+3 =7.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Ответ: -29.

Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=(x8)2(x7)8 на
отрезке [7,5;18].
Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [7,5;18] в ней содержится полностью.
Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции (используем правило дифференцирования произведения двух функций)
y′ = ((x8)2(x7)8 )′ = 2(x8)(x7)+(x8)2 = (x8) (3x22).
Решаем уравнение (x8) (3x22) =0.
Имеем две критические точки х1=8 и х2=22/3. Первая х1=8  принадлежит данному отрезку [7,5;18]., а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х1=8:
y(8) = (88)2(x7)8  = -8.
Вычислим значения функции  на концах отрезка:
y(7,5) = (7,58)2(7,57) 8  = 0,125 8 =-7,875.
y(18) = (188)2(187) 8 = 11008 =1092.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Ответ: -8.

 Задания для самостоятельного решения.
1.      Найдите наименьшее значение функции y = x3x28x+4 на отрезке [1;7].
2.      Найдите наибольшее значение функции y=x36x2+9x+5 на отрезке [0;3].
3.      Найдите наибольшее значение функции y=x312x+5 на отрезке [−3;0].
4.      Найдите наибольшее значение функции y=x3+2x2+x7 на отрезке [−3;0,5].
5.      Найдите наибольшее значение функции y=x5+20x365x на отрезке [−4;0].
6.      Найдите наибольшее значение функции y=x55x320x на отрезке [−10;1].
7.      Найдите наименьшее значение функции y=18x2​−x3+19 на
отрезке [−7;10].
8.      Найдите наименьшее значение функции y=19+192xx3 на отрезке [−8;8].
9.      Найдите наибольшее значение функции y=−7+243xx3 на отрезке [−9;9].
10.  Найдите наименьшее значение функции y=11+48xx3 на отрезке [−4;4].
11.  Найдите наибольшее значение функции y=−7+75xx3 на отрезке [−5;5].
12.  Найдите наименьшее значение функции y=21x2x3+5 на отрезке [−5;9].
13.  Найдите наименьшее значение функции y=9x2​−x3+11 на отрезке [−4;4].
14.  Найдите наименьшее значение функции y=12x2​−x3+3 на отрезке [−5;6].
15.  Найдите наибольшее значение функции y=x39x2+24x7 на отрезке [−1;3].
16.  Найдите наименьшее значение функции y=x3+6x2+9x+21 на отрезке [−3;0].
17.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+5)2(x3)+6 на
отрезке [−7;0].
18.  Найдите наибольшее значение функции y=(x4)2(x9)4 на
отрезке [1;5].
19.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+9)2(x+6)−5 на
отрезке [−10;8].
20.  Найдите наименьшее значение функции y=(x10)2(x6)8 на
отрезке [8;15].
21.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)2(x+9)+1 на
отрезке [−12;9,5].
22.  Найдите наименьшее значение функции y=(x5)2(x3)+10 на
отрезке [4;8].
23.  Найдите наибольшее значение функции y=(x1)2(x10)−1 на
отрезке [−1;6].
24.  Найдите наименьшее значение функции y=(x+5)2(x+6)−8 на
отрезке [−5,5;1].
25.  Найдите наименьшее значение функции y=(x8)2(x2)−3 на
отрезке [5;17].
26.  Найдите наибольшее значение функции y=(x8)2(x9)−10 на
отрезке [2;8,5].
27.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+5)2(x+4)+7 на
отрезке [−6;4,5].
28.  Найдите наименьшее значение функции y=(x6)2(x+5)+1 на
отрезке [1;15].
29.  Найдите наименьшее значение функции y=(x10)2(x7)−4 на
отрезке [9;14].
30.  Найдите наименьшее значение функции y=(x9)2(x+4)−4 на отрезке [7;16].
31.  Найдите наименьшее значение функции y=(x10)2(x+10)−7 на отрезке [8;18].
32.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)2​(x+1)+3 на
отрезке [−20;7].
33.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+9)2​(x5)+8 на
отрезке [−14;8].
34.  Найдите наименьшее значение функции y=(x1)2​(x+3)+4 на
отрезке [0;8].
35.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+6)2​(x4)+3 на
отрезке [−11;1].
36.  Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)2​(x+7)10 на
отрезке [−5;6].
37.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+8)2​(x+1)3 на
отрезке [−15;7].
38.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)2​x+2 на
отрезке [−11;4].
39.  Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)2​(x+6)+7 на
отрезке
[−4;1].

Комментариев нет:

Отправить комментарий