Чем заняться на каникулах?

 Чем можно заняться на каникулах интересно и с пользой для себя. Приведу несколько ссылок и предложений.

1. Вы ещё можете успеть принять участие в международной онлайн олимпиаде Фоксфорда по различным предметам, до 17 января. Олимпиада бесплатная и с призами.

2. От центра "Снейл" Международный тест по Логике. Зима

3.  От центра "Снейл". Стать участникам Благотворительного проекта «Книга добра», где предстоит создать свою страницу «Книги добра».

4. Попробовать свои силы в программировании и поискать сокровища на сайте  http://www.часкода.рф/.

Наибольшее и наименьшее значения функции (тригонометрические функции)

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [− π/2; 0] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции

y′ = (59x−56sinx+42 )′ = 59−56cosx.

Решаем уравнение 59−56cosx =0, или 59=56cosx, cosx=59/56>1. Уравнение корней не имеет, так как −1£ cosx £1.

Так как критических точек у функции нет, значит, она ведёт себя монотонно, возрастает или убывает на всей области определения. Найдём значение производной в точке ноль, y′(0) = 59−56cos0 = 59−56 = 3>0, то функция возрастает. Наибольшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке 0.

y(0)=59*0−56sin0+42 = 42.

Ответ: 42.

На координатной прямой отмечены точки

Задачи из открытого банка заданий ФИПИ (базовый уровень).

Такие задания в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике (базовый уровень) стоят под номером 17. Для их решения необходимо уметь делать приближённые вычисления выражений, находить числа на координатной прямой.

 

Цилиндр, конус, шар

Готовимся к контрольной работе по теме «Цилиндр, конус и шар»

Задача 1. Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания цилиндра равна 36π см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение. Из условия площадь основания цилиндра равна 36π = πR², то есть 36 = R², R=6.

Так как осевое сечение цилиндра – квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания h=2R=12.

Подставляем найденные величины в формулу полной поверхности цилиндра S = 2πR(R+h) = 2π*6*(6+12) = 216π.

Ответ 216π.

Задача 2.  Высота конуса равна 6 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120º.

а) Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30º.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или) наименьшее значение функции на отрезке.

1.    Находим область определения функции и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.

2.    Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

3.    Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.

4.    Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках a и b.

5.    Из полученных значений функции выбираем наибольшее и (или) наименьшее.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции y = 2x³−12x²+18x+3 на отрезке [−1; 2].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−1; 2] в ней содержится полностью.

Показательные уравнения

Показательные уравнения на ЕГЭ по математике, профильный уровень.

Из сборника «ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.

 

Вычисление по формулам, геометрия

Задачи базового уровня из открытого банка ФИПИ.

Задача 1. Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=18, c=16 и sinα=1/3.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем

Ответ 80.

Задача 2. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d₁d₂sinα, где d₁ и d₂ — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d₁=4, d₂=7, a sinα=2/7.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем S=1/2d₁d₂sinα=0,5*4*7*2:7=4.

Ответ 4.

Ускорение, работа, температура, мощность...

Задачи из открытого банка задач ФИПИ с формулами по физике.

Задача 1. Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле E=mv²/2, где m — масса тела (в килограммах), а v — его скорость (в м/с ). Пользуясь этой формулой, найдите E (в джоулях), если v=4 м/с и m=10 кг.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем E=mv²/2=10*4*4:2=80 джоулей.

Ответ 80.

Задача 2. Ускорение тела (в м/с²) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле a=ω²R, где ω — угловая скорость вращения (в с^− 1), а R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите a (в м/с²), если R=4 м и ω=7 с^− 1.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем a=ω²R=7*7*4=196 м/с².

Ответ 196.

Куб, задачи

Куб. Задачи.

1.      Площадь поверхности куба равна 1568. Найдите его диагональ.

2.      Объем куба равен 125. Найдите площадь его поверхности.

3.      Диагональ одной из граней куба равна квадратному корню из двенадцати. Найдите его объем.

4.      Диагональ куба равна квадратному корню из четырёхсот тридцати двух. Найдите его объем.

5.      Если каждое ребро куба увеличить на 9, то его площадь поверхности увеличится на 594. Найдите ребро куба.

6.      Если каждое ребро куба увеличить на 3 см, то его объём увеличится на 117 см³. Чему равно ребро куба?

7.      Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Конкурс «Интернет для всей семьи»

(от ПАО «Мобильные ТелеСистемы»)

 Ты уже опытный пользователь интернета? А умеет ли пользоваться интернетом твоя бабушка? Как помогает интернет твоему дедушке? Как изменилась жизнь твоих старших родственников, после того как они узнали, что такое интернет? Сними видеоролик, о том, чем полезен интернет для бабушек, дедушек и всей семьи, или как ты научил пользоваться интернетом своих родственников. И пусть, главными героями этого ролика станут твои близкие. Опубликуй этот видеоролик в сети ВКонтакте с хеш-тегами #телекомидеяюниор и #Интернешка. И пришли на конкурс ссылку на видеоролик и аннотацию к нему. Компетентное жюри оценит твои старания и наградит победителей!

Прием работ на конкурс: с 1 декабря 2015 года по 24 января 2016 года. 

Принять участие в конкурсе могут все русскоговорящие пользователи в возрасте от 6 до 17 лет включительно, проживающие в России и за рубежом. Возрастные категории участников: 6-10, 11-14 и 15-17 лет. 

Конкурс презентаций и пословиц. Безопасность.

(от АО «Лаборатория Касперского»)

Знаешь, как настроить и защитить свой компьютер и смартфон? Сделай мультимедийную презентацию по одной из предложенных ниже тем и пришли ее на конкурс. Компетентное жюри оценит работы и наградит победителей! 

Возможные темы работ:

1.     Безопасная работа в социальных сетях: общение, публикация материалов.

2.     Защита собственной информации от несанкционированного доступа.

3.     Компьютерные вирусы. Антивирусные программы.

4.     Правовые и этические аспекты использования интернета. 

В презентации должна содержаться фраза "Презентация подготовлена для конкурса "Интернешка" http://interneshka.org/".

Окружность и углы

Задача 1. Отрезки AC и BК — диаметры окружности с центром O. Угол AOК равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение. В решении этой задачи мы должны использовать свойство вертикальных углов. В данном случае угол АОК является вертикальным с углом ВОС треугольника ВОС и  угол ВОС равен 114 градусам. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Значит сумма углов ОВС и ОСВ равна 180 – 114 = 66 градусов. Углы ОВС и ОСВ равны, так как треугольник ОВС равнобедренный (ОВ = ОС – радиусы).

Поэтому угол АСВ равен 66:2=33 градусам.

Ответ 33.

Задача 2. На окружности радиуса 3 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС=2корня из пяти. Найдите ВС.

Трапеция и окружность

Задачи из открытого банка ФИПИ.

Задача 1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

Решение. В решении этой задачи мы должны использовать свойство описанного четырёхугольника, суммы длин противоположных сторон у него равны. Значит сумма боковых сторон равна 40:2=20. Отсюда находим высоту трапеции, она равна стороне АВ (так как трапеция прямоугольная АВ перпендикулярна AD), АВ = 20 – CD = 20 – 11 = 9. Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной в неё окружности. Значит, радиус окружности равен 9:2 = 4,5.

Ответ 4,5.

Задача 2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

Олимпиада Фоксфорда, 2 сезон

Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» проводит Международную онлайн-олимпиаду (Олимпиаду) по математике, русскому языку, информатике, физике, биологии, химии, обществознанию и истории для учащихся 5–11 классов.

Во 2 сезоне Олимпиады по каждой дисциплине проводятся отдельно:

• по математике, русскому языку, информатике, английскому языку в 5–11 классах;
• по биологии в 6–11 классах;
• по физике в 7–11 классах;
• по химии в 8–11 классах;
• по обществознанию, истории в 9–11 классах.

Для участия в Олимпиаде необходимо зарегистрироваться на сайте olymp.foxford.ru. Если у вас есть учетная запись на сайте foxford.ru, вы можете принять участие в Олимпиаде, войдя на сайт с помощью этой учетной записи.

Олимпиадные задания по каждой дисциплине доступны для просмотра и решения с 1 декабря 2015 года. Ваш индивидуальный вариант олимпиады вы найдете на странице соответствующей олимпиады.

Задания Олимпиады решаются самостоятельно, ответы принимаются в срок до 17 января 2016 г. 23:59 по московскому времени. До завершения Олимпиады вы можете многократно их изменять. В 23:59 17 января 2016 г. введение и изменение ответов будет остановлено.