Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 19 сентября 2015 г.

Задача по стереометрии из демонстрационного варианта 2016



Задание 14 из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень).
Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА1 и А1С1 соответственно.
а) докажите, что прямые ВМ и МN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ВМN и АВВ1.

Решение. а) В треугольнике АВС проведём медиану ВН. Так как треугольник равносторонний, то ВН является и высотой. Тогда из треугольника АВН найдём квадрат катета ВН по теореме Пифагора ВН2=АВ2 – АН2 = 36 – 9 = 27.

Далее мы видим, что треугольник ВНN – прямоугольный, так как НN параллельна АА1, а значит перпендикулярна плоскости АВС и любой прямой лежащей в этой плоскости. Из треугольника ВНN по теореме Пифагора ВN2=ВН2 + NН2 = 27 + 36 = 63.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ. По теореме Пифагора ВМ2=АВ2 + АМ2 = 36 + 9 = 45. А из прямоугольного треугольника А1МN по теореме Пифагора МN21М2 + А1N2 = 9 + 9 = 18.
По результатам наших вычислений получилось, что в треугольнике ВМN квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, ВN2=ВМ2 + NМ2 , 63 = 45 + 18. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ВМN – прямоугольный с прямым углом ВМN. Первое утверждение доказано.
б) проведём перпендикуляр NР к прямой А1В1. Тогда имеем, что отрезок NР перпендикулярен к А1В1 и к АА1 (так как АА1 перпендикулярен к плоскости А1В1С1, а значит и к любой прямой лежащей в этой плоскости). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, NР перпендикулярен плоскости АВВ1. Поэтому МР – проекция прямой МN на плоскость АВВ1.
Прямая ВМ перпендикулярна МN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна МР. Следовательно, угол NМР – линейный угол двугранного угла NМВР, образованного плоскостями ВМN и АВВ1. Его и надо найти.
Проведём С1К – высоту треугольника А1В1С1, она равна высоте треугольника АВС, а её мы нашли С1К = ВН = 3* корень из 3. Перпендикуляр NР является средней линией треугольника С1КА1 и равен половине С1К. NР = 0,5*3* корень из 3. МN нами уже найдено, МN = 3* корень из 2.
Значит sin NMP = NP/NM.
Ответ: б) arcsin(корень из 3/8).
В критериях оценивания этой задачи сказано, что 2 балла даётся если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. Один балл сдающий получает, если верно решён один из этих пунктов.

Комментариев нет:

Отправить комментарий