Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 19 мая 2013 г.

В8 и первообразная.



Вспомним немного теории.
Определение: Если на координатной плоскости дан график положительной функции у=f(х), заданной на отрезке [a;b], то криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции у=f(х), прямыми х = а и  х = b и осью абсцисс. 
Определение: Пусть дана положительная функция у=f(х), определённая на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции у=f(х) на отрезке [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.

Обозначение интеграла. Традиционно интеграл от функции у = f (x) обозначается так:

Первообразная
Определение:  функцию F (x) называют первообразной для функции  f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство
F′(x) = f (x)
Видим, что интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интеграла сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции.
Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Теорема (Ньютона–Лейбница): Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда
То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a. (Формула Ньютона-Лейбница)
Соответственно и площадь соответствующей криволинейной трапеции равна разности первообразных в точках b и a. 
В таблице приведены основные свойства интеграла.
Для работы с первообразной и интегралом необходимо помнить производную и её свойства, уметь применять производную для исследования графиков функции.


Задачи из открытого банка заданий по математике ЕГЭ 2013.



Задание B8 (№ 323289)

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x).
Функция F(x) = x3+27x2+249x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. 
S = F(b) – F(a) = F(-8) – F(-10)= (-8)3+27× (-8)2+249×(-8) -3 – ((-10)3+27× (-10)2+249× (-10) -3) =  -512+1728 – 1992 -3 +1000 -2700 +2490 +3 = 14

Задание B8 (№ 323387)

На рисунке изображён график некоторой функции у=f(х). Функция F(x) = -0,2x3- 4,5x2- 30x-1,375  — одна из первообразных функции у=f(х). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. 
S = F(b) – F(a) = F(-5) – F(-10)=0,2×(–5)34,5× (–5)2 30×(–5) – 1,375 – (–0,2× (–10)34,5× (–10)2 30× (–10) – 1,375) =  25 112,5 + 150 1,375 200 +450 – 300 + 1,375 = 12,5

Комментариев нет:

Отправить комментарий