Продолжаем решать задачи, В10.

 До ЕГЭ по математике осталось  две недели. Продолжаем решать задачи из открытого банка заданий.

В 10. 2011 г.

1. Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила ее давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна P = (v²/L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведерка в м/с, L — длина веревки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 122,5 см? Ответ выразите в м/с.

2. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ =5 м — начальная высота столба воды, k =0,005 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

3. Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону φ = ωt + βt/2, где t — время в минутах,ω  = 40°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 4°/мин — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 3000°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

4. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ = 57 км/ч, выезжает из него. И сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v₀ + at²/2. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

5. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v₀ = 20  м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5  м/с. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀ - at²/2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

6. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 6 кг и радиуса R = 15 см, и двух боковых с массами M = 1 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг∙см², дается формулой . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг∙см²? Ответ выразите в сантиметрах.

7. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: P = σST⁴, где σ = 5,7∙ 10^-8 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S =(1/128) ∙ 10²⁰ м², а излучаемая ею мощность P не менее 1,14∙ 10²⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

8. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 35 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 35 до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана — в пределах от 180 до 210 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

9. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 245 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону  (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ выразите в м/с.

10. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = ε/(R+r), где ε — ЭДС источника (в вольтах), r = 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 5%от силы тока короткого замыкания  I_кз = ε /r? (Ответ выразите в омах.)