Площади шестиугольника и треугольника

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов

Рассмотрим еще одну интересную олимпиадную планиметрическую задачу о треугольнике и порожденном им шестиугольнике, площадь которого в два раза меньше. Переживем еще одно приключение мысли.

Задача 1. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в точке

Вспомним свойства медиан треугольника.

1.    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади (равновеликих).

2.    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Тренировочная работа №15 задание 16.

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.

Решение.

Найдите объём многогранника

Задание 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A₁, C₁, D₁, F₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

Решение. По чертежу видим, что необходимо найти объём прямоугольного параллелепипеда ACDFA₁C₁D₁F₁. Осталось понять, какую часть площади основания (то есть правильного шестиугольника ABCDEF составляет прямоугольник ACDF. Для этого соединим отрезками вершины шестиугольника с его центром, получим 6 равных

равносторонних треугольников (в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, отрезки ОА, ОВ, ОС, OD, OE, OF являются радиусами описанной окружности). Теперь видно, что площадь прямоугольника ACDF составляет четыре шестых или две третьих площади шестиугольника, то есть S_ACDF=2/3S_ABCDEF=2/3*9=6. Значит объём многогранника равен 6*11=66.

Ответ 66.

Задание 2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A₁, B₁, F₁, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.