Натуральные
числа прочно вошли в нашу жизнь, и поэтому их необходимо знать как можно лучше.
На написание данной исследовательской работы нас подтолкнула задача первого
этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников по математике 2014 года,
предлагавшаяся девятиклассникам.
Задача.
а) Разбить
все натуральные числа от 1 до 12 включительно на шесть пар, суммы чисел в
которых являются шестью различными простыми числами.
б) Можно ли
все натуральные числа от 1 до 22 включительно разбить на одиннадцать пар, суммы
чисел в которых являются одиннадцатью различными простыми числами?
Мы расширим
наше исследование, найдем возможные разбиения первых натуральных чисел на пары,
суммы которых – простые числа.
Для
чего это нам нужно? Для того чтобы глубже понять свойства натуральных чисел,
научиться работать с отдельными группами чисел, обладающими заданными
свойствами.
Цель работы.
Исследование возможности разбиения натуральных чисел на такие пары, суммы
которых являются простыми числами.
Задачи.
1.
Исследовать и глубже понять
свойства чисел натурального ряда, их строение и взаимосвязь.
2.
Рассмотреть возможность разбиения натуральных чисел на такие
пары, суммы которых являются простыми числами.
3.
Докажем, что не всегда все натуральные числа от 1 до 2n
включительно можно разбить на n пар, суммы чисел в которых являются n различными простыми числами.
Актуальность
работы в том, что она помогает нам глубже познакомиться с различными комбинациями
натуральных чисел, исследовать закономерности этих чисел. Всё это поможет в
дальнейшем успешно участвовать в олимпиадах и конкурсах по математике и
информатике, в выполнении всероссийских проверочных работ, в прохождении
государственной итоговой аттестации.
Методы исследования:
изучение литературы о натуральных числах, поиск информации в источниках
Интернета, поиск задач, соответствующих теме, самостоятельное исследование и
решение возникающих задач.
Всё
это позволит более успешно разобраться и с другими вопросами математики, с
заданиями повышенного уровня сложности.
Первые пары натуральных чисел.
Рассмотрим
первые пары натуральных чисел.
Одна пара.
Это два первых натуральных числа 1и 2, их сумма является простым числом 3.
Две пары.
Это четыре первых натуральных числа 1, 2, 3, 4. Их последовательные суммы являются простыми числами 1+2=3 и 3+4=7.
Три пары.
Это шесть первых натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их последовательные
суммы тоже являются различными простыми
числами 1+2=3, 3+4=7 и 5+6=11.
Четыре пары.
Это восемь первых натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Здесь уже
появляются первые трудности. Не все их последовательные суммы являются различными простыми числами 1+2=3,
3+4=7 и 5+6=11, 7+8=15. Комбинируя слагаемые, получаем четыре пары, суммы
которых - различные простые числа: 1+6=7, 2+3=5, 4+7=11, 5+8=13. Возможна другая комбинация пар 1+4=5, 2+5=7,
6+7=13, 3+8=11.
Пять пар.
Это десять первых натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Здесь задача
решается легко, так как 9+10=19. С учетом решения в предыдущем пункте, получаем
пять пар, суммы которых - различные простые числа: 1+6=7, 2+3=5, 4+7=11,
5+8=13, 9+10=19. Соответственно, другая комбинация пар 1+4=5, 2+5=7, 6+7=13,
3+8=11, 9+10=19.
Теперь
подробно рассмотрим решение пункта а задачи.
Составим таблицу сумм чисел от 1 до 12. Желтым цветом закрасим все простые
числа в таблице.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
Заметим, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 12
равна 78, а сумма всех простых чисел от 2 до 23 равна 100. Но число 2 нельзя
представить в виде суммы двух разных натуральных чисел. Сумма оставшихся восьми
простых чисел равна 98, что на 20 больше 78. Значит, в суммах пар могут
отсутствовать только по одной паре простых чисел, сумма которых равна 20. Это 7
и 13, 3 и 17. Но пара 7 и 13 не может не использоваться, так как тогда
обязательны суммы пар чисел равные 3 и 5. Но 3=1+2, а 5 тогда нельзя представить
в виде суммы оставшихся чисел.
Значит,
попарные суммы натуральных чисел от 1 до 12 должны равняться 5, 7, 11, 13, 19,
23. Но число 23 представляется единственным образом 23=11+12. Тогда и число 19
тоже представляется единственным образом 19=9+10. Поэтому вариантов составления
таких пар чисел мало.
Теперь красным цветом выделим шесть клеток
удовлетворяющие условию задачи 1 и 4, 2 и 5, 3 и 8, 6 и 7, 9 и 10, 11 и 12
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
Приведем второй вариант решения этой задачи. Красным
цветом выделим шесть клеток удовлетворяющие условию задачи 1 и 6, 2 и 3, 5 и 8,
4 и 7, 9 и 10, 11 и 12
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
Приведем
пример, когда можно составить пары натуральных чисел, суммы которых – простые
числа, но среди них есть равные. Зеленым цветом выделим шесть клеток с суммами
чисел 1 и 2, 3 и 4, 5 и 8, 6 и 7, 9 и 10, 11 и 12
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
Этот пример
не удовлетворяет условию, так как простые числа должны быть разными
Рассмотрим
решение пункта б задачи. Докажем, что
все натуральные числа от 1 до 22 включительно нельзя разбить на одиннадцать
пар, суммы чисел в которых являются одиннадцатью различными простыми числами. Составим
для наглядности таблицу сумм чисел от 1 до 22. Желтым цветом закрасим все
простые числа в таблице.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
Заметим, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 22
равна 253, а сумма всех простых чисел от 2 до 43 равна 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43=281.
Но число 2 нельзя представить в виде суммы двух разных натуральных чисел. Сумма
оставшихся тринадцати простых чисел равна 179, что на 26 больше 253. Значит, в
суммах пар могут отсутствовать только по одной паре простых чисел, сумма
которых равна 26. Значит, среди сумм пар встречались бы числа 41 и 43. Но число
43 представляется в виде суммы двух натуральных чисел от 1 до 22 единственным
образом: 43=21+22, и тогда число 41 уже не может быть представлено, как сумма
чисел не превосходящих 20.
Этим пунктом
мы доказали, что не всегда все натуральные числа от 1 до 2n
включительно можно разбить на n пар, чтобы суммы чисел в этих парах являлись n различными простыми числами.
Заключение.
В работе мы
рассмотрели решение задачи заочного этапа Всесибирской
открытой олимпиады школьников по математике
о возможности разбиения
первых последовательных натуральных чисел на такие пары, суммы которых являются
простыми числами. В ходе работы мы глубже поняли свойства последовательности
натуральных чисел, расположение простых чисел среди натуральных. Доказали, что
не всегда все натуральные числа от 1 до 2n включительно можно разбить на n пар, чтобы
суммы чисел в этих парах являлись n различными простыми числами.
Результаты работы могут использоваться на занятиях по
подготовке к государственной аттестации, на занятиях кружков и факультативов по
математике.
Комментариев нет:
Отправить комментарий