Не так страшен модуль

Рассмотрим решение задачи 15 в 36 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. Решить неравенство  .

Решение. Найдем область определения неравенства х²+3х не должно равняться нулю, значит х не может быть равен 0 и -3. При остальных значениях независимой переменной х неравенство имеет смысл.

На вид страшное неравенство решается довольно стандартно. Многие учащиеся увидев модуль сразу сдаются, прекращают решение. Здесь модуль можно сказать для «устрашения», для проверки знания определения модуля числа. Так как модуль любого числа неотрицателен, то дробь может быть неотрицательной только в том случае, если знаменатель неотрицателен. Решение исходного неравенства сводится к решению стандартного биквадратного неравенства х⁴- 6х²+5≥0.

Делаем замену переменных а = х² ≥0 и получаем квадратное неравенство а² – 6а + 5 ≥ 0. Решаем методом интервалов, сначала находим корни уравнения а² – 6а + 5 = 0. По теореме Виета а = 1 и а = 5. Расставляя корни на числовой оси и определяя знаки квадратного трехчлена на полученных числовых промежутках, получаем а ≤ 1 и а ≥ 5.

Делая обратную замену получаем два неравенства х² ≤ 1 и х² ≥ 5. Все решения первого является неравенства удовлетворяют двойному неравенству -1≤ х ≤ 1. Все решения второго записываются двумя неравенствами х ≤ - √5 и х ≥ √5.

Учитывая область определения неравенства, получаем ответ

(-∞; - 3)⋃ (-3; -√5] ⋃ [- 1; 0) ⋃ (0; 1] ⋃ [√5: ∞).

Задание для самостоятельного решения.