Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

среда, 14 марта 2018 г.

Задача 26 из 26 варианта



Рассмотрим решение задачи 26 из 26 варианта из сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».
(подсказка для подготовки к зачету: решение задачи, подобной задаче 26 из 20 варианта рассмотрено в сообщении "Найдите основания трапеции", решение задачи, подобной задаче 26 из 21 варианта рассмотрено в сообщении "Когда биссектриса и медиана перпендикулярны")
В решении используются свойства вписанных углов, радиуса окружности, проведенного перпендикулярно хорде, свойства подобных треугольников.
Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BР, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке Р. Найдите CР.
Решение. Продолжим прямую ВР до пересечения с окружностью в точке К. Соединим точки А и К. Точку пересечения ВК и АО обозначим буквой Н.

Заметим, что треугольник АВК – равнобедренный. Так как радиус, перпендикулярный хорде делит ее пополам,  то АН в треугольнике АВК является высотой и медианой.
Рассмотрим треугольники АВС и АВР. У них угол А общий. Угол АВК равен углу АКВ, но угол АКВ равен АСВ (они вписанные и опираются на одну дугу АВ). Значит углы АВК и АСВ равны и треугольники АВС и АВР подобны по первому признаку. Из пропорциональности соответствующих сторон получаем
АВ:АС=АР:АВ, отсюда АР= АВ2/АС=142/98=196/98=2.
Значит РС=98-2=96.
Ответ 96.

Задачи для самостоятельного решения.

  1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
  2. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=8, AC=64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
  3.  В треугольнике ABC известны длины сторон AB=20, AC=40, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.