Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

воскресенье, 22 мая 2016 г.

В каком отношении прямая делит сторону



Тренировочная работа №1 задание 16.

На отрезке BD‍ взята точка C.‍ Биссектриса BL‍ равнобедренного треугольника ABC‍ с основанием BC‍ является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD‍ с основанием BD.‍
а) Докажите, что треугольник DCL‍ равнобедренный.
б) Известно, что cos
ABC = ‍1/6.‍ В каком отношении прямая DL‍ делит сторону AB?‍

Решение. а) Пусть ABL = СBL =a. Тогда AСB = ABС = 2a (треугольник ABC равнобедренный с основанием BC),  LDB = LBС = a (треугольник LDB равнобедренный с основанием BD). В треугольнике DСL, внешний угол угол BСL равен 2a, а так как один из внутренних несмежных с ним LDB = a, то и второй DLС =a, и треугольник является равнобедренным.
б) В треугольнике ABC проведём высоту АН. В прямоугольном треугольнике ABН cosABC = ‍1/6, значит ВН:АВ = 1/6, то есть АВ = АС = 6ВН. ВС =2ВН. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон: АL: LС = АВ:ВС = 6ВН:2ВН =3:1.
Значит LС = АС/4 = 0,25 АС.
Далее можно пойти несколькими путями.

1 способ. Треугольники ВМD и ВLС подобны по двум углам (AСB = ABС и LDB = LBС), запишем для них отношение соответствующих сторон: ВМ:LС = ВD:ВС. Так как треугольник DCL‍ является равнобедренным, то ВD = LС + ВС и  ВМ:LС = (LС+ВС):ВС. Выразим отсюда ВМ. ВМ= (LС+ВС)* LС:ВС или ВМ= LС2:ВС+ LС.
Поскольку ВС = АВ:3, то получаем ВМ= 3LС2:АВ+ LС. Разделим это равенство на АВ
ВМ:АВ= 3LС2:АВ2+ LС:АВ = 3/42+1/4 = 7/16.
Тогда АМ/АВ = 9/16 и АМ/МВ = 9/7.
2 способ. В треугольнике АМL угол АМL – внешний к треугольнику ВМD и АМL = МВD + МDB = 2a + a =3a.
По теореме синусов в треугольнике АМL: АМ/sina = АL/sin3a или
АМ = АL sina/sin3a = АL sina/sin(a +2a) =
АL sina/(sina*cos2a + cosa* sin2a) =
АL sina/(sina*cos2a + cosa* 2sina*cosa) =
АL sina/(sina(cos2a + 2cos2a) = (после сокращения синусов и применения формулы 2cos2a = 1 + cos2a, получаем) = АL/(cos2a + 1 + cos2a) = АL/(1 + 2cos2a). Но cos2a =1/6 и АL=3АВ/4. Получаем
АМ = АL/(1 + 2/6) = 3АL/4 = 9АВ/16.
Соответственно ВМ = ВА- 9АВ/16 = 7АВ/16. В итоге
АМ/ВМ = 9/7.
Ответ 9/7.

2 комментария:

  1. Спасибо за решение.... до развилки сам дошел, а дальше помогло ваше решение дойти до ответа

    (http://de17eon.blogspot.ru)

    ОтветитьУдалить