Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 26 октября 2015 г.

Смеси и сплавы



Задачи из открытого банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
Решение. В 10 литрах 24-процентного раствора содержится 0,24*10 = 2,4 литра вещества. В новом растворе вещества останется столько же, в объём раствора станет 15 литров.
2,4 : 15 *100% = 16%.
Ответ 16.

Задача 2. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  35% никеля.
Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий
25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Решение.

Обозначим через х – массу первого сплава, тогда масса второго 150 – х.
Масса чистого никеля в первом сплаве 0,1х, а во втором 0,35(150 – х). Получаем уравнение
0,1х+0,35(150 – х)=0,25*150, раскроем скобки и перемножим числа.
0,1х+52,5 –0,35 х = 37,5. Приведём подобные члены.
–0,25 х = -15. Умножив обе части уравнения на -4 получим х=60. Тогда масса второго сплава 1540-60=90. Масса второго сплава больше массы первого на 30 кг.
Ответ 30.

Задача 3. Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Обозначим через х – количество 24-процентного раствора кислоты,
y - количество 67-процентного раствора кислоты, тогда
кислоты в первом растворе 0,24х,
кислоты во втором растворе 0,67y,
кислоты в третьем растворе 0,41(х + y + 10), получаем первое уравнение 0,24х+0,67y=0,41(х + y + 10).
кислоты в четвёртом растворе 0,45(х + y + 10),
получаем второе уравнение 0,24х+0,67y +10*0,5=0,45(х + y + 10). Раскроем скобки
0,24х+0,67y = 0,41х + 0,41y + 4,1
0,24х+0,67y +5 = 0,45х + 0,45y + 4,5, перенесем члены, содержащие х вправо, получим
0,67y – 0,41y =0,41х – 0,24х +4,1
0,67y – 0,45y =0,45х – 0,24х +4,5 – 5, приводим подобные члены
0,26y =0,17х +4,1
0,22y =0,21х - 0,5, умножив оба уравнения на 10 получим
26y =17х +41
22y =21х – 5, вычтем из первого уравнения второе
4y =-4х +46, отсюда y =-х +11,5. Подставим во второе уравнение
22(-х +11,5) =21х – 5, -22х +253 =21х – 5, 258 =43х, х = 6.
Ответ 6.


Задачи для самостоятельного решения.

  1. В сосуд, содержащий 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
  2. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
  3. В сосуд, содержащий 10 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора? 
  4. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?
  5. Смешав 38-процентный и 52-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 38-процентного раствора использовали для получения смеси?