Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

суббота, 24 января 2015 г.

Проценты и растворы.

Рассмотрим решение задачи 13 Тренировочной работы №6 сборника "ЕГЭ 2015. Математика.
50 вариантов типовых тестовых заданий" (под редакцией И.В. Ященко).
Условие. 
Смешав 70%-й и 60%-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50%-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70%-го раствора использовали для получения смеси?
Решение. 

Пусть изначально было х кг 70%-го раствора кислоты и у кг 60%-го раствора. Тогда кислоты в первом растворе было 0,7х, а во втором 0,6у. Когда смешали оба раствора, в новом растворе кислоты стало 0,7х+0,6у. В этот раствор долили 2 кг чистой воды, то есть масса его стала х+у+2. Так как получился 50%-й раствор, то кислоты в нём 0,5(х+у+2). Получаем первое уравнение:
0,7х+0,6у = 0,5(х+у+2), раскрыв скобки получим 0,7х+0,6у = 0,5х+0,5у+1. Перенесём слагаемые с неизвестными в левую часть, получим 0,2х+0,1у =1. Или, после умножения обеих частей уравнения на 10 получим окончательно
2х+у =10(1)
Рассмотрим второй случай, когда к смеси х+у добавили 2 кг 90%-го раствора той же кислоты. В 2 кг 90%-го раствора содержится 1,8 кислоты. Значит в новом растворе кислоты станет 0,7х+0,6у+1,8. Масса нового раствора стала равна также х+у+2. Так как получился 70%-й раствор, то кислоты в нём 0,7(х+у+2). Получаем второе уравнение:
0,7х+0,6у+1,8 = 0,7(х+у+2), раскрыв скобки получим 0,7х+0,6у+1,8 = 0,7х+0,7у+1,4. Перенесём слагаемые с неизвестными в правую часть, а 1,4 в левую, получим 0,4=0,1у . Или, после умножения обеих частей уравнения на 10 получим окончательно
у =4(2)
Подставив в уравнение (1), получим
2х+4 =10, х =3
Ответ 3.