Отрезок, длина которого не изменяется

Рассмотрим еще одну задачу с двумя окружностями в треугольнике. Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 35 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая АD в точке К.

а) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10.

 Решение. Решение задачи не сложное, основано на свойстве касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).

Выразим АК двумя способами.

АК = АТ – КТ,

АК = АF – КF. По свойству касательных КТ = КМ, КF = КN и АТ = АЕ, АF = АР.

Так длины отрезков двух общих внешних касательных к двум окружностям, заключенных между точками касания равны, то MN = HZ. Тогда

2*АК = АТ – КТ + АF – КF = АТ + АF – (КТ + КF) = АЕ + АР – MN = АС – ЕС + АВ – ВР – MN = АС + АВ – (ЕС + ВР + MN) = АС + АВ – (СН + ВZ + HZ) = АС + АВ – ВС. То есть АК = (АС + АВ – ВС)/2 и не зависит от положения точки D.

Время проведения ГИА изменится

Срок начала основного периода единого государственного экзамена (ЕГЭ) 2020 года будет перенесен на 8 июня, основного государственного экзамена (ОГЭ) для выпускников 9 классов – на 9 июня. Такие решения готовятся Министерством просвещения Российской Федерации и Федеральной службой по надзору в сфере образования и науки в связи со складывающейся эпидемиологической обстановкой и объявлением нерабочими дней с 30 марта по 3 апреля.
Основной период ЕГЭ 2020 года должен был пройти с 25 мая по 29 июня, сдавать экзамен планируют около 797 тысяч человек. Проведение основного периода ОГЭ 2020 года планировалось с 22 мая по 30 июня, на участие в экзаменах зарегистрировались более 1,4 миллиона девятиклассников.
В настоящее время готовятся проекты приказов Минпросвещения и Рособрнадзора о переносе сроков проведения ЕГЭ, ОГЭ и государственного выпускного экзамена (ГВЭ) в 2020 году. Проект нового расписания экзаменов будет в ближайшие дни направлен в региональные органы управления образованием вместе с разъяснениями по организации работы в связи с переносом сроков государственной итоговой аттестации.
Источник http://www.obrnadzor.gov.ru/ru/press_center/news/index.php?id_4=7298 

Работают формулы площади треугольника

Время карантина можно использовать для активной подготовки к ГИА. Для этого из дома выходить не надо. Берем сборники и решаем. В сети обсуждаем пути решения заданий, возникающие проблемы.

Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 34 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. Биссектриса большего угла треугольника со сторонами 21, 24 и 39 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 35:36.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной исходного треугольника.

Решение. Изначально найдем длины отрезков АD и CD, на которые разбивает большую сторону АС биссектриса ВD.

(Используем свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон)

АD:CD = АВ:ВС = 21х:24х, отсюда 45х = 39, х = 13/15. Получаем

АD = 21*13/15 = 18,2 и CD = 24*13/15 = 20,8.

Минимальное количество баллов в 2020 году

В Рособрнадзоре установили нижний уровень количества баллов, которое выпускники должны"Об определении минимального количества баллов единого государственного экзамена, подтверждающего освоение государственной программы среднего общего образования и минимального количества баллов единого государственного экзамена, необходимого для поступления в образовательные организации высшего образования на обучение по программам бакалавриата и программам специалитета".
будут набрать на ЕГЭ в 2020 году для успешной сдачи экзамена. Смотрите приказ

По русскому языку минимальное количество проходных баллов — 24, по профильной математике — 27 (по базовой математике необходимо набрать три балла в пятибалльной системе), по физике, биологии и химии — 36, по информатике — 40, по истории — 32, по географии — 37, по обществознанию — 42, по литературе — 32, по иностранному языку — 22.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

ВПР по математике и физике 2019

На сайте ФИОКО опубликованы образцы и описания ВПР 2019. В том числе по математике и физике.
Всероссийские проверочные работы (ВПР) – это комплексный проект в области оценки
качества образования, направленный на развитие единого образовательного пространства в Российской Федерации, мониторинг введения Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), формирование единых ориентиров в оценке результатов обучения, единых стандартизированных подходов к оцениванию образовательных достижений обучающихся.
Указанные цели достигаются за счет проведения ВПР в единое время по единым комплектам заданий, а также за счет использования единых для всей страны критериев оценивания.
Участие школы в ВПР 2019 году в 4, 5 и 6 классах является обязательным. В 7 и 11 классах – по решению школы.

Найти наименьшее число членов последовательности

 Рассмотрим задачу №19 из Методических материалов для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Приведем примеры решения и оценку этих решений экспертами.
Задача. В последовательности а₁, а₂, …, а_n-1, a_n,  состоящей из целых чисел, а₁=1, a_n=235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018

Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.

Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.

Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Основание пирамиды - трапеция

Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90⁰. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем ∠BAD+∠ADC=90⁰, значит ∠AКD=90⁰.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

В правильной треугольной призме

Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА₁В₁С₁  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К₁. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А₁В₁ в точке L₁. Соединим точки К и L₁, L и К₁. В сечении получили трапецию КL₁LК₁.