Задание 1 базового уровня ЕГЭ

Подборка видео
https://youtu.be/6IeWTBE-6ek
https://youtu.be/xZJSj5jOSKM
https://youtu.be/Yd-nT9n7u9o
https://youtu.be/ZHKd1URGjLg

Найти наименьшее число членов последовательности

 Рассмотрим задачу №19 из Методических материалов для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Приведем примеры решения и оценку этих решений экспертами.
Задача. В последовательности а₁, а₂, …, а_n-1, a_n,  состоящей из целых чисел, а₁=1, a_n=235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018

Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.

Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.

Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Составные числа

 Рассмотрим несколько олимпиадных задач о простых и составных числах и способы их решения. Напомним, что натуральное число является простым, если делится без остатка только на 1 и на себя. Все остальные натуральные числа - составные, их можно представить как произведение двух или более чисел, не равных 1.

Задача 1. Доказать, что число 1589²-1 является составным числом.
Решение. Доказательство здесь очень простое - применяем формулу разность квадратов

1589²-1=1589²-1²=(1589-1)(1589+1)=1588*1590

Задача 2. Доказать, что число 53*83*109+40*96*66 является составным числом.
Решение. Заметим, что 40=149-109, 96=149-53, 66=149-83. Тогда наше выражение принимает вид  53*83*109+(149-109)(149-53)(149-83) = 53*83*109+149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*83-109*53*83 = 149*149*149-149*149*83-149*149*53 - 149*149*109+149*53*83+149*109*53+149*109*8, а это число делится на 149.
Задания для самостоятельной работы.

Сколько сделать фотографий?

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), такие задачи в КИМах стоят под номером 19. За правильное решение таких задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача 1. Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа – n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Решение.

а) за семь дней сделают

Маша m+ m+1+ m+2+ m+3+ m+4+ m+5+ m+6=7 m+21,

Наташа n+ n+1+ n+2+ n+3+ n+4+ n+5+ n+6=7 n+21.

Но Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша. То есть

7 n+21-(7 m+21)=1001. Отсюда  7 n-7 m=1001 и, после деления на 7 получаем  

 n- m=143. n= m+143.

Из полученного равенства видно, что решений в этом случае бесконечно много, например n=1, m=144 или  n=2,  m=145.

Число на координатной прямой

 Продолжаем подготовку к итоговой аттестации. Рассмотрим два вида задач, предлагаемых на ОГЭ в 9 классе, на расположение чисел на координатной прямой. Подобные задания встречаются и на ЕГЭ (базовый уровень) в 11 классе.

Задание 1. На координатной прямой отмечено число a. (рисунок 1)

Расположите в порядке возрастания числа a −1, 1/a, a

Варианты ответа

1) a, 1/a, a−1.       2) a −1, 1/a, a.

3) a −1, a, 1/a.        4) 1/a, a −1, a.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

Перевод чисел в двоичную систему

На координатной прямой отмечены точки

Задачи из открытого банка заданий ФИПИ (базовый уровень).

Такие задания в демонстрационном варианте ЕГЭ по математике (базовый уровень) стоят под номером 17. Для их решения необходимо уметь делать приближённые вычисления выражений, находить числа на координатной прямой.