Работают формулы площади треугольника

Время карантина можно использовать для активной подготовки к ГИА. Для этого из дома выходить не надо. Берем сборники и решаем. В сети обсуждаем пути решения заданий, возникающие проблемы.

Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 34 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. Биссектриса большего угла треугольника со сторонами 21, 24 и 39 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 35:36.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной исходного треугольника.

Решение. Изначально найдем длины отрезков АD и CD, на которые разбивает большую сторону АС биссектриса ВD.

(Используем свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон)

АD:CD = АВ:ВС = 21х:24х, отсюда 45х = 39, х = 13/15. Получаем

АD = 21*13/15 = 18,2 и CD = 24*13/15 = 20,8.

Далее воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника АВС. Найдем полупериметр (21+24+39)/2 = 42. Площадь треугольника АВС равна корню квадратному из произведения 42*21*18*3. S_ABC = 126Ö3.

А площадь треугольника АВD равна S_ABC*18,2/39 = 126Ö3*18,2/39 = 1,4*42Ö3.

Площадь треугольника СВD равна S_ABC*20,8/39 = 126Ö3*20,8/39 = 1,6*42Ö3.

Далее вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Найдем синус угла АВС.

sinАВС = 2*S_ABC/(АВ*ВС) = 2*126Ö3/(21*24) = Ö3/2. Так как угол АВС – наибольший, то он не может равняться 60 градусам, значит угол АВС равен 120 градусам. Соответственно углы АВD и СВD равны 60 градусам.

S_АВD = 1,4*42Ö3 = АВ* ВD* sin АВD/2, отсюда ВD = 2*1,4*42Ö3/(21*0,5Ö3) = 11,2.

Теперь будем использовать еще одну формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника равна произведения полупериметра этого треугольника на радиус вписанной в него окружности. Найдем периметры треугольников АВD и СВD.

Р_АВD = 21+11,2+18,2 = 50,4. Р_СВD = 24+11,2+20,8 = 56.

Найдем радиус вписанной в треугольник АВD окружности r = 2* S_АВD/ Р_АВD = 2*1,4*42Ö3/50,4 = 7Ö3/3.

Найдем радиус вписанной в треугольник СВD окружности r₁ = 2* S_СВD/ Р_СВD = 2*1,6*42Ö3/56 = 2,4Ö3.

Отсюда r/r₁ = 7Ö3/(3*2,4Ö3) = 70/72 = 35/36. Пункт а доказан.

Найдем расстояние КР между точками касания вписанных окружностей с большей стороной исходного треугольника. Для этого используем свойства касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).

АВ = АМ + МВ = АК + ВН = 18,2 – КD + 11,2 – КD = 21.

2*КD = 8,4 или КD = 4,2.

ВС = ВЕ + ЕС = ВН + РС = 11,2 – FD + 20,8 – FD = 24.

2* FD = 8 или FD = 4.

КР = КD + РD = 4,2 + 4 = 8,2.

Ответ 8,2.

Для самостоятельного решения.

Задача 2. Биссектриса большего угла треугольника со сторонами 24, 40 и 56 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9:10.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной исходного треугольника.

(Решение этой задачи приведено в указанном выше учебно-методическом пособии и отличается от приведенного активным использованием теоремы косинусов)