Сложные проценты. Задание 19

Предлагаем решения двух заданий №19 ЕГЭ 2015 по математике.

Задача 1 (простая). 31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй - 644,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?

Решение: Пусть х- процент, под который банк выдал кредит Борису (записанный в виде десятичной дроби (25% = 0,25).

Тогда, по окончании первого года, то есть 31 декабря 2015 года банк начислит проценты на 1 млн руб, то есть сумма станет 1000000*(1+х).

Затем Борис переведёт транш 560 тыс. рублей. Сумма станет 1000000*(1+х) – 560000 рублей, или, после раскрытия скобок, 440000+1000000х.

По окончании второго года, то есть 31 декабря 2016 года банк начислит проценты на 440000+1000000х рублей, то есть сумма становится (440000+1000000х)*(1+х). Поскольку вторым траншем Борис гасит всю сумму, то получаем уравнение

(440000+1000000х)*(1+х) = 644 100,

440000+1000000х + 440000х+1000000х² = 644 100,

1000000х² + 1440000х – 204100 = 0, разделив обе части на 100, получим

10000х² + 14400х – 2041 = 0,

D = 14400² + 4*10000*2041 = 207 360 000 + 81 640 000 = 289 000 000

Х = (-14400 + 17000)/20000 = 2600/20000 = 0,13. Второй корень будет отрицательным, что не соответствует условию задачи.

Ответ 13.

Задача 2 (сложная). 31 декабря. 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря, каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если бы он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке?

Решение. Задача с двумя неизвестными. Пусть х – взятая сумма, а – процент, под который она взята.

Составим таблицу для 2 случая.

Дата	Остаток на эту дату с начисленными процентами	Внесённый транш	Остаток на следующий год
31.12.2014	х
31.12.2015	х(1+0,01 а)	2 674 100	х(1+0,01 а)- 2 674 100
31.12.2016	(х(1+0,01 а)- 2 674 100)(1+0,01 а)	2 674 100	0

Обозначим у=1+0,01 а и получим

Дата	Остаток на эту дату с начисленными процентами	Внесённый транш	Остаток на следующий год
31.12.2014	х
31.12.2015	ху	2 674 100	ху - 2 674 100
31.12.2016	(ху- 2 674 100)у	2 674 100	0

(ху- 2 674 100)у-2 674 100=0,

ху²- 2 674 100у-2 674 100=0,

ху²= 2 674 100у+2 674 100.

Теперь составим таблицу для 1 случая, сохранив обозначение у=1+0,01 а.

Дата	Остаток на эту дату с начисленными процентами	Внесённый транш	Остаток на следующий год
31.12.2014	х
31.12.2015	ху	1 464 100	ху - 1 464 100
31.12.2016	(ху- 1464 100)у	1 464 100	(ху- 1 464 100)у- 1 464 100
31.12.2017	((ху- 1464 100)у- 1 464 100)у	1 464 100	((ху- 1464 100)у- 1 464 100)у - 1 464 100
31.12.2018	(((ху- 1464 100)у- 1 464 100)у - 1 464 100)у	1 464 100	0

(((ху- 1464 100)у- 1 464 100)у - 1 464 100)у-1 464 100=0,

((ху²- 1464 100у- 1 464 100)у - 1 464 100)у-1 464 100=0,так как из второго случая мы получили ху²= 2 674 100у+2 674 100, то можно избавиться от неизвестного х,

((2 674 100у+2 674 100- 1464 100у- 1 464 100)у - 1 464 100)у-1 464 100=0, или

((1 210 000у+1 210 000)у - 1 464 100)у-1 464 100=0,раскрывая внутренние скобки, получим

(1 210 000у²+1 210 000у - 1 464 100)у-1 464 100=0,раскрывая внешние скобки, получим

1 210 000у³+1 210 000у² - 1 464 100у-1 464 100=0, разделим обе части на 100,

12100у³+12100у² - 14641у -14641=0, сгруппируем 1 и 3 слагаемые, 2 и 4,

12100у³- 14641у + 12100у² -14641=0,

у(12100у²- 14641) + (12100у² -14641)=0, вынесем общий множитель,

(12100у²- 14641)(у + 1) = 0, так как по условию задачи у не может равняться -1, то остается случай 12100у²- 14641 = 0, или у²= 14641 :12100, у²= 1,21, у=1,1.

Вспомнив, что у=1+0,01 а =1,1, получаем а=10.

Ответ 10.