Добро пожаловать в блог! Здесь вы можете поглубже познакомиться с математикой, порешать задания ГИА и ЕГЭ, а в перерывах почитать стихи и посмотреть чудесные цветы. Удачи Вам!

понедельник, 6 января 2014 г.

Решение задач B15.



Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, требуют умения выполнять действия с функциями, в частности, находить производные функций.  Задачи делятся на два типа:
  1. Задачи на поиск максимального (наибольшего) или минимального (наименьшего) значения функции на отрезке или на всей числовой прямой;
  2. Задачи нахождение точки максимума или минимума функции.
Кратко напомним основные понятия.
Наибольшим (максимальным) значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение y0=f(x0), что для любого х из промежутка X  справедливо неравенство f(x)< f(x0).
Наименьшим (минимальным) значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение y0=f(x0), что для любого х из промежутка X  справедливо неравенство f(x)> f(x0).
Простым языком, наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (самое маленькое) значение этой функции, принимаемое на рассматриваемом числовом промежутке с абсциссой x0.
Стационарные точки – это значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю.
Из теоремы Ферма следует, что если дифференцируемая на некотором числовом промежутке функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной.
Таким образом, функция может принимать своё наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка, в крайних точках (если они есть у данного числового промежутка), в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Задачи на нахождение максимального или минимального значения функции на заданном отрезке.
Если в задаче требуется найти наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение функции у= f (x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:
  1. Находим область определения функции, её общую часть с отрезком [a;b].
  2. Определяем, есть ли на отрезке [a;b] точки, в которых не существует первая производная данной функции.
  3. Находим все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого производную функции приравниваем ее к нулю, решаем уравнение f ′(x) = 0 и выбираем подходящие корни. Встречаются задачи, в которых стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в заданный отрезок.
  4. Вычисляем значения функции у= f (x) в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках x=a и x=b.
  5. Из полученных значений функции f (a), f (b), f (x1), f (x2), ..., f (xn) выбираем наибольшее или наименьшее, это и будет ответ.
Рассмотрим для примера следующую задачу.
Задача 1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:
y = x3 − 48x + 10
Решение.
Для начала найдем производную:
y′ = (x3 − 48x + 10)′ = 3x2 − 48
Затем приравняем ее к нулю: y′ = 0;
3x2 − 48 = 0
, делим обе части на 3, получаем x2 − 16 = 0; x1 = −4; x2 = 4.
Вычеркиваем корень x = 4, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −4. Имеем:
y(−5) = (−5)3 − 48 · (−5) +10 = 125;
y(−3) = (−4)3 − 48 · (−4) +10 = 138;
y(0) = 03 − 48 · 0 +10 = 10.
Очевидно, что наибольшее значение равно 138, оно достигается в точке x = −3.
Ответ: 138.
Задачи для самостоятельного решения:
1.      Найдите наименьшее значение функции y = x3 − 4x2 − 3x на отрезке [1; 5].
2.      Найдите наибольшее значение функции y = x3 + x2 − 16x на отрезке [−1; 5].
3.      Найдите наименьшее значение функции y = x3 − 6x2 + 1 на отрезке [−3; 4].
4.      Найдите наибольшее значение функции y = x3 − 3x + 4 на отрезке [−2; 1].
5.      Найдите наибольшее значение функции y = x3 + x2 − 8x − 8 на отрезке [−3; 0].
6.      Найдите наименьшее значение функции y = 4x2 − 4x − x3 на отрезке [1; 4].

Задача 2. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=5cosx – 6x + 4
на от­рез­ке [-1,5p;0].
Ре­ше­ние.
Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:  y′ = -5sinx – 6.
Решим урав­не­ние y′ = 0, то есть -5sinx – 6=0, sinx = – 6/5<-1, не имеет ре­ше­ний.
Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей.
Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся значение в правой крайней точке 0.
 y(0) =5cos0 – 6×0 + 4 = 9.
Ответ: 9.
Задачи для самостоятельного решения:
1.      Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y = 7sinx – 8х +9. на от­рез­ке [-1,5пи;0].
Ответ: 9.
2.      Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=9cosx = 14x + 7 на от­рез­ке [0; 1,5пи].
Ответ: 16.
3.      Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = 15х - 3sinx +5. на от­рез­ке [-0,5пи;0].
Ответ: 5.
Продолжение следует.

Комментариев нет:

Отправить комментарий