Как распределить трудовые ресурсы

Приведём очередной пример решения экономических задач из сборника «ЕГЭ 2016 Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.

Задание 1. Вариант 7, задание17. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

В каждой из областей 50 рабочих, всего область обладает резервом в 500 человеко-часов.

Пусть во второй области добывают  х кг алюминия и у кг никеля, и тратят на это 500 человеко-часов:

х² + у² = 500.

Когда выгоднее продать бумаги?

Приведём ещё один пример решения экономических задач из сборника «ЕГЭ 2016 Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 21. Задание 17. В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2 000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение.

Что фермеру выращивать?

Приведём пример решения экономических задач из сборника «ЕГЭ 2016 Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий». Под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 20. Задание 17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 10000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 13000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

Покрова Богородицы, что на Рву

Отдохнём от математики. Полюбуемся на фотографии, сделанные в соборе. На второй день нашего пребывания в Москве, 27 марта, мы направились на Красную площадь и посетили Покровский собор. Над спуском к Москве-реке стоит храм-картинка, подобный праздничному торту. Это собор Покрова Богородицы, что на Рву (с этой стороны Кремль раньше был защищен рвом). Но в народе он известен как собор Василия Блаженного.
Подробнее можно прочитать здесь http://liveinmsk.ru/places/a-59.html

По закону Ома для полной цепи

Задание №41957  По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I=ε/(R+r), где ε — ЭДС источника (в вольтах), r=3 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 4% от силы тока короткого замыкания Iкз=ε/r? (Ответ выразите в омах.)

Решение. Так как сила тока будет составлять не более 4% от силы тока короткого замыкания получаем неравенство I<= 0,04 Iкз. Или 

Окружность в квадрате и касательная

Для решения следующих геометрических задач необходимо знать

соответствующие факты из планиметрии. В частности, свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки (их отрезки соединяющие исходную точку и точки касания равны), признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников, теорему Пифагора и другие.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение. а) По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки МН=МТ, NT=NR. Значит гипотенуза MN =МТ+ ТN =МН+ NR. Поэтому периметр треугольника AMN = АМ+ MN + AN = АМ+ МН+ NR + AN = АН + АR =АВ.

Встроенные функции EXCEL

Click here for larger version

Перевод чисел в двоичную систему

Угол между плоскостями

В приведённой ниже подборке заданий из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение углов между плоскостями в правильной треугольной призме. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  Для того, чтобы найти двугранный угол (угол между двумя плоскостями, надо найти его линейный угол. Линейный угол образован перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными из одной точки, но в разных полуплоскостях (гранях).

Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 4, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость имеет с основанием АВС общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Найдём еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для основания АВС и плоскости АDВ₁. Значит эти плоскости пересекаются по прямой АК.

Автомобилист и велосипедист

В этом блоке мы продолжаем публиковать задачи на движение из открытого банка ФИПИ. Сегодня из пункта А в пункт В едут автомобилист и велосипедист с разными скоростями, но в одном направлении. Все благополучно прибывают в пункт назначения, но в разное время. Они ездят, а нам задачи решать. Ведь на ЕГЭ они тоже ездят и по тому же маршруту. Удачи!

Задание №39101  Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 25 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х – скорость велосипедиста,

тогда х+25 скорость автомобилиста.

Обозначим весь путь через 2S. Тогда

60/х - время велосипедиста,

60/(х+25) время автомобилиста. Прибыл автомобилист в В на 1 час 40 мин раньше, поэтому получаем уравнение