Единицы на доске

На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n = 12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.

а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?

б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?

в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел  равна 150?

 

Решение:

Как увеличить свою долю

 

Борис и Иван вложили деньги в общий бизнес. После этого один из них добавил еще 1 млн рублей, в результате чего его доля в бизнесе увеличилась на 0,05, а когда он добавил еще 1 миллион рублей, его доля увеличилась еще на 0,04. Сколько миллионов рублей ему нужно добавить, чтобы увеличить свою долю еще на 0,06?

Решение:

Задания 10 классу

1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=67,5° и BC=3.

2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.

Решение стереометрических задач ЕГЭ от Бориса Трушина

КИМы досрочного ЕГЭ 2017

Есть возможность потренироваться в подготовке к единому государственному экзамену по математике на решении  реальных заданий,  на сайте ФИПИ опубликованы по одному варианту КИМ, использованных для проведения ЕГЭ досрочного периода 2017 года, по 14 общеобразовательным предметам.
По математике
Базовый  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/ma_baz_101.pdf
Профильный  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/maprof_101.pdf
По информатике http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/inf_101_0.pdf
По физике  http://fipi.ru/sites/default/files/document/2017/fi_101.pdf

Кто больше, кто быстрее

Задачи из открытого банка заданий ФИПИ.

Заказ на 140 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 4 детали больше?

Решение.

Обозначим через х – производительность второго рабочего (х деталей он делает за час).

Тогда производительность первого будет х+4.

Второй затратит на выполнение всего заказа 140/х часов.

Первый затратит на выполнение всего заказа 140/(х+4) часов.

Поскольку первый выполняет заказ на 4 часа быстрее, получаем уравнение

140/х - 140/(х+4) = 4.Умножив обе части уравнения на общий знаменатель х(х+4), получим

140(х+4) – 140х = 4х(х+4),

140х+560 – 140х = 4х²+16х,

4х²+16х- 560 =0, разделив обе части уравнения на 4 получим х²+4х- 140 =0. Корни уравнения -14 и 10. Условию задачи удовлетворяет только второй корень.

Ответ 10.

Задачи для самостоятельного решения.

Кузнечик прыгает на ЕГЭ

 Итак, продолжаем испытывать нашу смекалку, решая задания под номером 20 базового ЕГЭ по математике. Сегодня следим за кузнечиком.

Задача 1. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на

единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Решение:

Немного подумав, мы можем за­ме­тить, что куз­не­чик может ока­зать­ся толь­ко в точ­ках с чётными ко­ор­ди­на­та­ми, по­сколь­ку число прыж­ков, ко­то­рое он де­ла­ет, чётно. Например, если он сделает пять прыжков в одну сторону, то в обратную сторону он сделает три прыжка и окажется в точках 2 или −2.

Меняем монеты на ЕГЭ.

Продолжаем подготовку к итоговой государственной аттестации. Сегодня решаем задачи,
которые предлагаются на базовом уровне ЕГЭ по математике под номером 20. Задачи взяты из открытых банков заданий.

За­да­ние 20.

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

 · за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

 · за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение:

Простейшие геометрические задачи на ЕГЭ по математике

 

Задание 4 (№ 5183)

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см    1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь треугольника в данном случае легче находить как разность площади прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников, окрашенных в синий цвет.

Площадь прямоугольника равна 6*5=30.

Площади треугольников 5, 4 и 9.

Находим разность S= 30-5-4-9 =12

Ответ 12.

Подробнее смотрите в презентации

 https://docs.google.com/file/d/0B_gYxguVWf8DSHRlaEtnblFDUDQ/edit