Найдите число в арифметической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной арифметической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство а_n = а_n + d, где d – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, т.е.

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2.

 Формула n-го члена арифметической прогрессии

а_n = а₁ +( n −1)d.

Задача 1. Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

Решение. Из условия имеем а₁=20. Разность арифметической прогрессии d = а₂ − а₁ = 13−20 = − 7. По формуле n-го члена находим седьмой (n=7) член прогрессии:

а₇=20+(7 − 1)(− 7)= −22.

Ответ: −22.

Задача 2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна − 4,9 и a₁ =− 0,2. Найдите a₇.

Решение. По формуле n-го члена находим седьмой (n=7) член прогрессии:

а₇= −0,2+(7 − 1)(− 4,9)= −29,6.

Ответ: −29,6.

Задача 3. Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =5, c_n + 1 = c_n −4. Найдите c₆.

Решение. Из условия имеем а₁=5. Разность арифметической прогрессии d = c_n + 1  − c_n= − 4. По формуле n-го члена находим шестой (n=6) член прогрессии:

а₆=5+(6 − 1)(− 4)= −15.

Ответ: −15.

Задача 4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; − 9; x; − 13; − 15; … Найдите x.

Решение. По основному свойству арифметической прогрессии

а_n = (а_n-1 + а_n+1)/2, то есть х = (−9 + (−13))/2= −11.

Ответ: −11.

Для самостоятельного решения.

1.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

− 6; 1; 8; … Найдите 6-й член этой прогрессии.

2.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

30; 27; 24; … Найдите 5-й член этой прогрессии.

3.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

− 4; 2; 8; … Найдите 8-й член этой прогрессии.

4.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

10; 6; 2; … Найдите 6-й член этой прогрессии.

5.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

− 8; − 1; 6; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

6.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

20; 17; 14; … Найдите 6-й член этой прогрессии.

7.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

− 9; − 5; − 1; … Найдите 8-й член этой прогрессии.

8.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

30; 24; 18; … Найдите 7-й член этой прогрессии.

9.      Выписаны первые три члена арифметической прогрессии:

− 17; − 14; − 11; … Найдите 5-й член этой прогрессии.

10.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна − 8,5 и a₁ =− 6,8. Найдите a₅.

11.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 5,5 и a₁ =− 6,9. Найдите a₆.

12.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна − 5,3 и a₁ =− 7,7. Найдите a₇.

13.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна − 6,8 и a₁ =− 3. Найдите a₄.

14.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 4,3 и a₁ =− 8,2. Найдите a₇.

15.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 1,9 и a₁ =3,9. Найдите a₈.

16.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 9 и a₁ =− 8,6. Найдите a₈.

17.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна − 5 и a₁ =9,2. Найдите a₆.

18.  Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 0,6 и a₁ =− 9,9. Найдите a₅.

19.  Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =− 4, c_n + 1 =c_n −2. Найдите c₈.

20.  Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =− 5, c_n + 1 =c_n −2. Найдите c₇.

21.  Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =− 8, c_n + 1 =c_n −2. Найдите c₅.

22.  Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =2, c_n + 1 =c_n +2. Найдите c₆.

23.  Последовательность (a_n) задана условиями: a₁ =3, a_n + 1 =a_n +4. Найдите a₆.

24.  Последовательность (a_n) задана условиями: a₁ =5, a_n + 1 =a_n −3. Найдите a₆.

25.  Последовательность (a_n) задана условиями: a₁ =5, a_n + 1 =a_n +3. Найдите a₈.

26.  Последовательность (a_n) задана условиями: a₁ =3, a_n + 1 =a_n −4. Найдите a₅.

27.  Последовательность (c_n) задана условиями: c₁ =6, c_n + 1 =c_n +2. Найдите c₇.

28.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 12; x; 6; 3; … Найдите x.

29.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; x; 19; 23; … Найдите x.

30.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 7; x; 13; 16; … Найдите x.

31.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 17; x; 13; 11; … Найдите x.

32.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; − 6; x; − 2; 0; … Найдите x.

33.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 10; x; 16; 19; … Найдите x.

34.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 19; x; 11; 7; … Найдите x.

35.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; − 10; x; − 14; − 16; … Найдите x.

36.  Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 8; x; 16; 20; … Найдите x.