Сечение в правильной четырехугольной призме

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА₁ равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

Через точку К проводим прямую параллельную ВD до пересечения с CD в точке М. Значит КМ перпендикулярна АС (так как диагонали квадрата BD и АС перпендикулярны).

Треугольники BCD и СКМ подобны (оба прямоугольные и равнобедренные), значит СМ=КС=2. По теореме Пифагора из треугольника СКМ находим, что КМ=2√2, а из треугольника BCD BD=5√2. Диагонали квадрата равны, значит и АС= BD=5√2.

Теперь, через точку L проводим прямую параллельную ВD до пересечения с B₁C₁ в точке Т. По отрезку ТL плоскость КМL пересечет верхнее основание (Если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то линии пересечения будут параллельны). Значит ТC₁= C₁L =1. Из треугольника ТLC₁ по теореме Пифагора ТL=√2.

В равнобедренной трапеции КТLМ точка Н – середина верхнего основания, точка N - середина нижнего основания, значит НN – высота трапеции, НN перпендикулярна КМ. Значит КМ перпендикулярна плоскости АА₁С, в том числе и прямой А₁С.

Рассмотрим диагональное сечение призмы прямоугольник AA₁C₁С. Из точки Н опустим перпендикуляр на АС. Тогда NЕ=ЕС= НC₁ =0,5√2. НЕ= СC₁ =√5.

В треугольниках АА₁С и NРС угол РСА – общий. Тангенс угла АА₁С равен 5√2: √5=√10 Тангенс угла НNЕ из треугольника НNЕ равен √5: 0,5√2=√10. Значит углы АА₁С и НNЕ равны. Но тогда и оставшиеся углы А₁АС= NРС=90⁰. Имеем А₁С перпендикулярна прямым НN и КМ, значит А₁С перпендикулярна плоскости трапеции КТLМ. Что и требовалось доказать.

Для того, чтобы найти объем пирамиды А₁КТLМ, надо найти площадь трапеции КТLМ и высоту А₁Р. Из треугольника НNЕ по теореме Пифагора НN²=5,5. Площадь трапеции КТLМ равна НN*(ТL+КМ)/2=√5,5*(√2+ 2√2)/2=1,5√11.

Найдем высоту А₁Р. А₁Н= А₁С₁- НС₁= 5√2- 0,5√2= 4,5√2.

Из подобия треугольников А₁С₁С и А₁РН имеем А₁Р: А₁С₁= А₁Н: А₁С,

А₁Р= А₁С₁*А₁Н: А₁С= 5√2 *4,5√2: √55=45/√55.

Находим объем пирамиды А₁КТLМ: V=1,5√11*45/(3√55)=4,5√5.

Ответ 4,5√5.