Первообразная и интеграл

Первообразная и интеграл. Задания из открытого банка ФИПИ.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл  - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке [a;b]  функции y=f(x), слева прямой x=a , справа прямой x=b , и снизу осью Оx.

Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

F(a)- это значение первообразной функции f(x) в точке a, и, соответственно, F(b) - это значение первообразной функции f(x) в точке b.

Первообразная на ЕГЭ

Рассмотрим несколько задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике, в которых используются первообразная и интеграл. Предварительно можно повторить теорию в посте В8 и первообразная.

Задание 8 (№ 323097)

На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [ -2; 4].
Решение. По определению  функцию F(x) называют первообразной для функции  f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f (x). 

 

Значит, мы должны найти точки в которых  F′(x) = f (x) =0. То есть точки, в которых первообразная  y = F(x) имеет локальные экстремумы (максимум или минимум), в этих точках касательные к графику функции параллельны оси Ох. На втором рисунке эти точки из отрезка [ -2; 4] отмечены и пронумерованы.
Ответ 8.

Первообразная и интеграл на ЕГЭ.

В8. Первообразная и интеграл.
Выборка задач.

В8 и первообразная.

Вспомним немного теории.

Определение: Если на координатной плоскости дан график положительной функции у=f(х), заданной на отрезке [a;b], то криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции у=f(х), прямыми х = а и  х = b и осью абсцисс. 

Определение: Пусть дана положительная функция у=f(х), определённая на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции у=f(х) на отрезке [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.