Рассмотрим три
способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на
ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.
Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и
Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС
перпендикулярна прямой КР.
Доказательство.
1 способ. (Используем свойства равнобедренного
треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и
С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с
центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству
равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.
Треугольник РВС – тоже равнобедренный,
так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН –
медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является
и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную
прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и
требовалось доказать.
2 способ. (Используем свойства серединного
перпендикуляра) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и
С. КВ = КС – радиусы окружности с центром К. Точка К равноудалена от концов
отрезка ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. РВ и РС
– радиусы окружности с центром Р. Точка Р тоже равноудалена от концов отрезка
ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Но к отрезку ВС
можно провести только один серединный перпендикуляр, значит прямая КР
перпендикулярна ВС и проходит через его середину Н. Что и требовалось доказать.
3
способ.
(Используем свойства радиуса,
проведенного перпендикулярно хорде) Проведем радиус РЕ перпендикулярно
хорде ВС, тогда он делит хорду пополам, Н – середина ВС.
Проведем радиус КМ перпендикулярно хорде
ВС, тогда он делит хорду пополам, значит он тоже проходит через точку Н. Но
через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС.
Значит центры К и Р лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать.
Комментариев нет:
Отправить комментарий