Доказано тремя способами

Рассмотрим три способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.

Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна прямой КР.

Доказательство.

1 способ. (Используем свойства равнобедренного треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.

Треугольник РВС – тоже равнобедренный, так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН – медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и требовалось доказать.

2 способ. (Используем свойства серединного перпендикуляра) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. КВ = КС – радиусы окружности с центром К. Точка К равноудалена от концов отрезка ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Точка Р тоже равноудалена от концов отрезка ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Но к отрезку ВС можно провести только один серединный перпендикуляр, значит прямая КР перпендикулярна ВС и проходит через его середину Н. Что и требовалось доказать.

3 способ. (Используем свойства радиуса, проведенного перпендикулярно хорде) Проведем радиус РЕ перпендикулярно хорде ВС, тогда он делит хорду пополам, Н – середина ВС.

Проведем радиус КМ перпендикулярно хорде ВС, тогда он делит хорду пополам, значит он тоже проходит через точку Н. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит центры К и Р лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать.