Равнобедренный треугольник, медиана

Планиметрия на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задачи из Открытого банка заданий по математике ФИПИ.

Задача. В треугольнике ABC известно, что AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы BM.

Решение. Так как медиана треугольника, это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, то АМ = МС = 24:2 = 12.

По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат катета ВМ мы должны из квадрата гипотенузы АВ вычесть квадрат катета АМ. ВМ² = АВ² – АМ² = 225 – 144 = 81. Значит ВМ = 9.

Ответ 9.

Задача. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна восьми корням из пяти. Найдите длину стороны АВ.

 Решение. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть S= ВМ *АС/2. Но АС/2 = АМ = МС. Значит S= ВМ *АМ или восемь корней из пяти = 4*АМ. Отсюда АМ = двум корням из пяти.

По свойству равнобедренного треугольника медиана ВМ является и высотой. Значит, треугольник АВМ прямоугольный и мы можем применить теорему Пифагора. Чтобы найти квадрат гипотенузы АВ мы должны сложить квадраты катетов ВМ и АМ.

АВ² = ВМ² + АМ² = 16 + 20 = 36. Значит АВ = 6.

Ответ 9.

Задачи для самостоятельного решения.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC=10, AC=12. Найдите длину медианы BM.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC=17, AC=16. Найдите длину медианы BM.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC=13, AC=10. Найдите длину медианы BM.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC=25, AC=14. Найдите длину медианы BM.

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 3. Площадь треугольника АВС равна восемнадцати корням из двух. Найдите длину стороны АВ.

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 6. Площадь треугольника АВС равна двенадцати корням из семи. Найдите длину стороны АВ.

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 5. Площадь треугольника АВС равна десяти корням из шести. Найдите длину стороны АВ.

В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 2. Площадь треугольника АВС равна двум корням из двадцати одного. Найдите длину стороны АВ.