Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

В правильной треугольной призме

Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА₁В₁С₁  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К₁. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А₁В₁ в точке L₁. Соединим точки К и L₁, L и К₁. В сечении получили трапецию КL₁LК₁.

Сечение в правильной четырехугольной призме

Рассмотрим очередную двухбалльную стереометрическую задачу из тренировочных КИМов.

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона АВ основания  равна 5, а боковое ребро АА₁ равно корню квадратному из пяти. На ребрах ВС и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причем СК=2, а C₁L=1. Плоскость g параллельна прямой ВD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая А₁С перпендикулярна плоскости g.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка А₁, а основание – сечение данной призмы плоскостью g.

Решение. а) Внимательно выполним чертеж и проанализируем данные. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная призма, значит основание ABCD – квадрат со стороной 5. Боковые ребра перпендикулярны основаниям. Так как плоскость g проходит через точку К и параллельна прямой ВD, то линия пересечения плоскости g и плоскости АВС параллельна прямой ВD (Если через прямую, параллельную данной плоскости провести другую плоскость, то линия пересечения этих плоскостей будет параллельна данной прямой). 

В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.

В правильной четырёхугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной четырёх угольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы в основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Свойство параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Задача 1. В правильной четырёхугольной призме ABCDA​₁B₁C₁D₁ стороны основания

равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​₁. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​₁.

Решение. Рассмотрим подробно процесс построения сечения данной призмы плоскостью BED​₁. На плоскости АВВ₁ точки В и Е принадлежат и плоскости BED​₁. Значит плоскости АВВ₁ и BED​₁ пересекаются по прямой ВЕ. На плоскости ADD₁ также есть две общие точки с плоскостью BED​₁, это Е и D​₁. Значит, плоскости ADD₁ и BED​₁ пересекутся по прямой ED​₁.

Так как плоскости ADD₁ и ВСС₁ параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с BED​₁ параллельны. Проводим через точку В в плоскости ВСС₁ прямую ВР параллельно ED​₁. Осталось соединить точки Р и D​₁ в плоскости DСС₁.

Найдите объём многогранника

Задание 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A₁, C₁, D₁, F₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

Решение. По чертежу видим, что необходимо найти объём прямоугольного параллелепипеда ACDFA₁C₁D₁F₁. Осталось понять, какую часть площади основания (то есть правильного шестиугольника ABCDEF составляет прямоугольник ACDF. Для этого соединим отрезками вершины шестиугольника с его центром, получим 6 равных

равносторонних треугольников (в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, отрезки ОА, ОВ, ОС, OD, OE, OF являются радиусами описанной окружности). Теперь видно, что площадь прямоугольника ACDF составляет четыре шестых или две третьих площади шестиугольника, то есть S_ACDF=2/3S_ABCDEF=2/3*9=6. Значит объём многогранника равен 6*11=66.

Ответ 66.

Задание 2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A₁, B₁, F₁, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

Измеряем объём деталей на ЕГЭ по математике

Задача 1. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения

в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение. Поскольку уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза, то общий объём стал 5*1,4=7 литров. Тогда объём детали равен 7-5=2 литра или 2000 кубических сантиметров.

Ответ 2000.

Задача 2. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Решение. Вспомним, что у правильной четырёхугольной призмы  в основании лежит квадрат. Поскольку уровень воды в баке поднялся на 10 см, то объём детали равен 40*40*10= 16000 кубических сантиметров.

Ответ 16000.