
Задача. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ
основания равна 6, а боковое ребро АА1
равно 3. На рёбрах АВ и В1С1 отмечены
точки К и L
соответственно, причём АК=В1L=2. Точка M
— середина ребра A1C1. Плоскость 𝜸 параллельна прямой AC и содержит
точки К и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение
данной призмы плоскостью 𝜸.
Решение. а) Построим сечение призмы
АВСА1В1С1 плоскостью 𝜸 Так как плоскость g параллельна прямой AC и
содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в
точке К1. Аналогично, проведем
через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А1В1
в точке L1. Соединим точки К и L1, L и
К1. В сечении получили
трапецию КL1LК1.
Построим плоскость
ВВ1М, обозначим точки ее
пересечения с прямыми АС, КК1 и LL1
соответственно буквами N, E и F. Четырёхугольник ВВ1М N является прямоугольником, так как призма АВСА1В1С1
– правильная и боковые ребра перпендикулярны основаниям призмы. Найдем
сторону ВN, она
является высотой и медианой правильного треугольника АВС и по теореме Пифагора ВN2 = АВ2 – АN2 = 36-9=27. ВN =3√3.

б) Расстояние
от точки М до плоскости КL1LК1 найти
теперь легко. МО=MN=3, так как треугольники МОЕ и MNЕ равны. Отсюда
и ЕО = NЕ =√3. Значит
в трапеции КL1LК1 высота
FE =2√3. Площадь трапеции КL1LК1 равна (L1L+ КК1)* FE/2=(2+4)* 2√3/2=6√3 Тогда объем пирамиды МКL1LК1
равен 3*6√3/3=6√3.
Ответ: б) 6√3
Комментариев нет:
Отправить комментарий