Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

В правильной треугольной призме

В данной подборке из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение расстояния от вершины правильной треугольной призмы до секущей плоскости. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 

Некоторые факты стереометрии, которые пригодятся при решении этих задач. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Признак перпендикулярности плоскостей.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача 1. В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите расстояние от вершины C  до плоскости ADB​₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость ADB₁ имеет с основанием общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Определим вторую точку этой прямой. Продолжим сторону основания ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для плоскости АВС и секущей плоскости АDВ₁. Следовательно, прямая, по которой пересекаются эти плоскости – это прямая АК.