Найдите площадь параллелограмма

 

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 6. Задание 25.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

 Решение.

Построим параллелограмм АВСD и окружность, вписанную в треугольник АВС с центром О. По условию АО=25, ОН=17, ОК=7. Вспомним, что центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения его биссектрис, поэтому   АО, ВО и ОС – биссектрисы углов ВАС, АВС и ВСА. Радиусы ОК, ОЕ и ОР соответственно перпендикулярны касательным АС, АВ и ВС.

Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём АК. Квадрат АК равен 25*25-7*7=576. АК=24. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АЕ +АК=24. Аналогично ВЕ=ВР, СР=СК.

Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения радиуса вписанной окружности на периметр. Тогда площадь параллелограмма АВСD равна произведению радиуса ОК на периметр треугольника АВС. Найдем периметр треугольника АВС, он равен АЕ+ВЕ+ВР+РС+СК+АК = 24+2ВР+2РС+24= 48+2(ВР+РС)= 48+2ВС.

Значит площадь параллелограмма АВСD равна 7*(48+2ВС).

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, то есть РН*АD =24АD=24ВС.

Приравнивая полученные выражения, получаем уравнение 7*(48+2ВС)=24ВС. Раскроем скобки 336 +14 ВС= 24 ВС, 336 = 10 ВС, ВС = 33,6. Площадь параллелограмма АВСD равна 24*33,6 = 806,4.

Ответ 806,4.