Построение ряда натуральных чисел

Приведу еще один пример построения исследовательской работы для продвинутых пяти и шестиклассников по материалам ЕГЭ по математике.

Натуральные числа играют огромную роль в нашей жизни. Вот и на Едином государственном экзамене по математике за курс  полной средней школы самые сложные и самые высоко оцениваемые задания часто связаны с натуральными числами. Нас заинтересовала задача №19 из варианта №11 из сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Это задача о построении ряда натуральных чисел по заданной схеме с определенными крайними значениями.

Задача. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. 
а) Может ли оказаться так, что первое число 8, а шестое 5? 
б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1000, а двадцатое равно 62?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1000, а последнее число равно 9?

Мы найдем количество возможных построений заданных последовательностей в зависимости от различных начальных и конечных значений.

Для чего это нам нужно? Для того, чтобы глубже понять свойства натуральных чисел, научиться работать с группами чисел, обладающими заданными свойствами.

Цель работы. Исследование возможности построения ряда натуральных чисел по заданной схеме при различных начальных и конечных значениях.

Задачи.

1.     Исследовать и глубже понять свойства чисел натурального ряда, их строение и взаимосвязь.

2.     Рассмотреть возможность построения последовательности натуральных чисел, в которой каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего при заданных начальных и конечных значениях.

3.     Найти наиболее короткий путь получения из заданного значения первого числа заданное значение последнего числа.

Актуальность работы в том, что она помогает нам познакомиться с различными группами натуральных чисел, исследовать закономерности в построении ряда этих чисел. Всё это поможет в дальнейшем успешно участвовать в олимпиадах и конкурсах по математике и информатике, в выполнении всероссийских проверочных работ, в прохождении государственной итоговой аттестации.

Методы исследования: изучение литературы о натуральных числах, поиск информации в источниках Интернета, поиск задач, соответствующих теме, самостоятельное исследование и решение возникающих задач.

Всё это позволит более успешно разобраться и с другими вопросами математики, с заданиями повышенного уровня сложности. В работе мы составили и предлагаем ряд задач, которые помогут учащимся в подготовке к олимпиадам и итоговой аттестации.

 

Как получить из числа 8 число 5?

Переходим к решению первого пункта задачи. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. Может ли оказаться так, что первое число 8, а шестое 5? 

Здесь достаточно привести пример такой записи натуральных чисел: 8, 4,2,3,4,5. Найдено методом перебора вариантов.
А сколько всего вариантов получения числа 5 из 8? Один вариант мы рассмотрели. Но путей получения числа 5 из 8 еще можно найти бесконечно много.

Итак, самый короткий 8,9,10,5. Здесь 10=5*2 и пятерка на 4 месте. Далее

8, 9, 10, 11,…, 20, 10, 5. Здесь 20=5*4=5*2² и пятерка на 15 месте.

8, 9, 10, 11,…, 40,20, 10, 5. Здесь 40=5*8=5*2³ и пятерка на 36 месте.

8, 9, 10, 11,…, 80, 40, 20, 10, 5. Здесь 80=5*16=5*2⁴ и пятерка на 77 месте.

Из этих примеров видно, что таких последовательностей бесконечно много и задаются они произведением 5*2ⁿ, где n может быть любым натуральным числом. Чем больше n, тем более длинным становится путь получения числа 5 из числа 8.

Как из  1000 получить 62?

Рассмотрим решение второго пункта задачи. Может ли оказаться так, что первое число равно 1000, а двадцатое равно 62? Попробуем построить такую последовательность чисел. Заметим, что с точки зрения экономии ходов, в два раза выгоднее сначала делить данное число на 2 необходимое количество раз, а потом прибавлять 1 (две добавленных единицы к большим числам, при делении на 2 превращаются в одну добавленную единицу). Но, обязательно надо проверить «верхний» путь, например из 8 получить 5 быстрее так 8,9,10,5.

В нашем случае 62*2⁵=62*32=1984 и «верхний» путь займет около 1000 шагов.  Поэтому наиболее «экономный» путь получения из 1000 числа 62 следующий:

1000,500,250,125, 126, 63, 64, 32, 33, 34, …,61, 62. Но в этой последовательности чисел 39 чисел. Поэтому за двадцать шагов из 1000 получить число 62 нельзя.

Ответ Нет.

Как из  1000 получить 9?

Рассмотрим решение третьего пункта задачи. Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1000, а последнее число равно 9?

Учитывая сказанное в предыдущем пункте, наиболее экономный путь получения из 1000 числа 9 следующий

1000,500,250,125, 126, 63, 64, 32, 16, 8, 9.  

Если идти «верхним» путем, то надо из 1000 сначала получить 9*27=9*128=1152, то есть к 1000 надо152 раза добавить единицу, а потом еще 7 раз делить на 2.

Ответ 11 чисел.

 

Рассмотрим теперь общий случай. Можно ли из натурального числа m получить натуральное число n, если каждое следующее число, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего?

Если m<n, то просто добавим к m необходимое количество единиц m+1+1+…+1= n. Рассмотрим случай m>n. Пойдем «верхним» путем. Мы всегда можем подобрать степень k числа 2 так, чтобы выполнялось неравенство m<n*2^k. Тогда мы можем к числу m прибавить столько единиц, чтобы m+1+1+…+1= n*2^k. И после этого, число n*2^k разделить k раз на 2. Получим число n.

Мы доказали, что из любого натурального числа m можно получить любое натуральное число n, записав слева направо  ряд чисел, в котором каждое следующее число, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего.

Построение последовательностей с числом 2019.

Какие числа можно получить из числа 2019 за один ход, записывая слева в ряд числа на 1 больше или в 2 раза меньше предыдущего? За два хода? За три хода? За большее количество ходов?

За один ход можно получить только одно число 2020, так как 2019 на 2 не делится в натуральных числах. Это верно для всех нечетных чисел, из них за один ход можно получить только следующее за ним в натуральном ряду число.

Строим последовательности, которые можно получить за два хода:

2019, 2020, 2021;

2019, 2020, 1010.

Строим последовательности, которые можно получить за три хода:

2019, 2020, 2021, 2022;

2019, 2020, 1010, 1011;

2019, 2020, 1010, 505.

За четыре хода:

2019, 2020, 2021, 2022, 2013;

2019, 2020, 2021, 2022,1011;

2019, 2020, 1010, 1011, 1012;

2019, 2020, 1010, 505, 506.

Появилась гипотеза, а может за n ходов всегда получается только чисел n? Строим последовательности дальше, за пять ходов:

2019, 2020, 2021, 2022, 2013, 2014;

2019, 2020, 2021, 2022,1011, 2012;

2019, 2020, 1010, 1011, 1012, 1013;

2019, 2020, 1010, 1011, 1012, 506;

2019, 2020, 1010, 505, 506, 507;

2019, 2020, 1010, 505, 506, 253.

Наша гипотеза опровергнута, за пять ходов можно получить шесть чисел.

Заключение.

В работе мы рассмотрели решение задачи из сборника по подготовке к сдаче профильного ЕГЭ по математике  о построении ряда натуральных чисел по заданной схеме с определенными крайними значениями. Рассмотрели обобщение задачи, возможность из произвольного натурального числа m получить другое натуральное число n. Рассмотрели несколько примеров на по построение последовательностей натуральных чисел по заданной схеме начиная с числа 2019. В ходе работы мы глубже поняли понятие последовательности натуральных чисел, свойства ряда натуральных чисел. Учились выдвигать гипотезы и находить их решение.

Результаты работы могут использоваться на занятиях по подготовке к государственной аттестации, на занятиях кружков и факультативов по математике.

 

Задание для самостоятельной работы.

На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. 
а) Может ли оказаться так, что первое число 12, а седьмое 2? 
б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1200, а двадцать пятое равно 63?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1200, а последнее число равно 5?