Расстояние между скрещивающимися прямыми

Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.

Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.

Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

ВПР по математике и физике 2019

На сайте ФИОКО опубликованы образцы и описания ВПР 2019. В том числе по математике и физике.
Всероссийские проверочные работы (ВПР) – это комплексный проект в области оценки
качества образования, направленный на развитие единого образовательного пространства в Российской Федерации, мониторинг введения Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС), формирование единых ориентиров в оценке результатов обучения, единых стандартизированных подходов к оцениванию образовательных достижений обучающихся.
Указанные цели достигаются за счет проведения ВПР в единое время по единым комплектам заданий, а также за счет использования единых для всей страны критериев оценивания.
Участие школы в ВПР 2019 году в 4, 5 и 6 классах является обязательным. В 7 и 11 классах – по решению школы.

Найти наименьшее число членов последовательности

 Рассмотрим задачу №19 из Методических материалов для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Приведем примеры решения и оценку этих решений экспертами.
Задача. В последовательности а₁, а₂, …, а_n-1, a_n,  состоящей из целых чисел, а₁=1, a_n=235. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение. а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, -2, 7, -4, …, 233, -230, 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

Натуральные числа красного и зеленого цвета

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2018

Задание №19 проверяет в первую очередь уровень математической культуры. Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел не требуется. Кто эти факты знает, может их использовать, но всегда можно обойтись и без них.

Задача №19 разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справиться с ситуацией в целом.

Задача. На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше 1395=3+6+9+...+90, если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Основание пирамиды - трапеция

Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90⁰. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем ∠BAD+∠ADC=90⁰, значит ∠AКD=90⁰.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

В правильной треугольной призме

Рассмотрим подробное решение задачи из предыдущего  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝜸  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝜸.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝜸.

Решение. а) Построим сечение призмы АВСА₁В₁С₁  плоскостью 𝜸 Так как плоскость g  параллельна прямой AC и содержит точки К, то грань АВС пересекает 𝜸 по прямой, параллельной АС. Проведем через точку К прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро ВС в точке К₁. Аналогично, проведем через точку L прямую, параллельную АС. Эта прямая пересекает ребро А₁В₁ в точке L₁. Соединим точки К и L₁, L и К₁. В сечении получили трапецию КL₁LК₁.

Примеры оценивания решений заданий №14 ЕГЭ

На сайте ФИПИ опубликованы Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации  по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2018 года. Рассмотрим блок примеров на оценивание экспертами заданий №14 (стереометрические задачи).

Критерии проверки и оценка решений задания 14 ЕГЭ–2018

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Примеры оценивания выполнения задания 14

 Пример 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁  сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно 3. На рёбрах АВ и В₁С₁ отмечены точки К и L соответственно, причём АК=В₁L=2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость 𝛾  параллельна прямой AC и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости 𝛾.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью 𝛾.

Ответ: б) 6√3.

Строим ряд из натуральных чисел

Продолжим разбор задач под номером 19, теперь из сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Задача из варианта №11 о построении ряда натуральных чисел с заданными параметрами.

Задача 1. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, кроме первого, или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего. 
а) Может ли оказаться так, что первое число 8, а шестое 5? 
б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1000, а двадцатое равно 62?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1000, а последнее число равно 9?

Вспомним дроби

Дробь можно получить, разделив целое на равные части и взяв несколько таких частей. Например, дробь пять седьмых показывает, что целое разделили на семь равных частей и взяли пять частей.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной. Все правильные дроби меньше единицы. На рисунке зеленым цветом закрашено три четверти круга.

 Дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной. Все неправильные дроби больше или равны единице.
На рисунке красным цветом закрашено пять четвертых частей круга, а коричневым пятнадцать четвертых частей круга.

Школа как бабушкина квартира?

Какие проблемы среднего образования сегодня выходят на первый план? Об этом корреспонденту проекта "Социальный навигатор" МИА "Россия сегодня" рассказал народный учитель России, директор московского центра образования №548 "Царицыно" Ефим Рачевский.Приведу три цитаты из интервью. 
Подробнее по ссылке https://sn.ria.ru/20190131/1550145880.html 
 

•  Школа по содержанию учебных планов напоминает мне старую бабушкину квартиру, где хранятся какие-то сувениры, коробки, картинки. В доме появилась электрическая мясорубка, но на всякий случай сохранилась механическая, если электрическая сломается. Появился блендер, но сохранилась и ступка. И так далее. Постепенно в этой квартире стало невозможно двигаться.

Натуральные числа и теорема косинусов

Рассмотрим еще одну задачу под номером 19, теперь из вариант №7 сборника «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2/ под ред. И.В. Ященко». Задача о натуральных числах, но для ее решения необходимо помнить свойства дробей, неравенство треугольника и теорему косинусов.  

Задание 19 № 

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7.

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Современные центры образования в село

 Более 1 400 участников соберет третья международная конференция «Информационные
технологии в образовании», которая пройдет 7-8 февраля в областном конгресс-холле.
«Конференция – важное событие с точки зрения реализации государственной политики в сфере цифрового образования. Согласно целям национального проекта «Образование» в 2019 году будет разработана единая модель цифровой образовательной среды, которая с 2020 года планируется к внедрению в российских школах. Снижение бумажной нагрузки и увеличение скорости Интернет соединения – главные задачи в рамках федерального проекта «Цифровая образовательная среда», - сообщила заместитель министра образования Омской области Лариса Жукова. 

Переливаем на 4 балла

На едином государственном экзамене по математике «добавили воды». В последнем сборнике «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий» появилась новая задача олимпиадного уровня на переливания. Рассмотрим вариант №3, задание под номером 19. 

Задача. У Жени нет источника воды, но есть три ведра различных объёмов, в двух их которых есть вода. За один шаг Женя переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Женя через несколько шагов получить в одном из вёдер ровно 6 л воды, если сначала у него были ведра объёмами 5 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 9 л?

б) Мог ли Женя через несколько шагов получить равные объёмы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объёмами 7 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л?

в) Сначала у Жени были ведра объёмами 5 л и 10 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом n литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что как бы ни старался Женя, он не сможет получить через несколько шагов ровно 6 л воды в одном из вёдер?