Основание пирамиды - трапеция

Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.

 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+∠ADC=90⁰. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем ∠BAD+∠ADC=90⁰, значит ∠AКD=90⁰.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

б) Поскольку AB=BC, трапеция ABCD является равнобедренной. Значит, углы при основании равны ∠BAD=∠ADC=45⁰. По свойству односторонних углов при параллельных AD и BC и секущих АВ и CD имеем ∠КBС=∠КCВ=∠BAD=∠ADC=45⁰. Значит ВК=СК и по теореме Пифагора ВК²+СК²=ВС². 2ВК² =16, ВК²=8.

Площадь треугольника КВС равна СК*ВК/2=ВК²/2=8/2=4.
Объём пирамиды КВСР равен S_КВС*РК/3=4*9/3=12.

Ответ: б) 12.