Страницы блога

воскресенье, 10 февраля 2019 г.

Основание пирамиды - трапеция


Рассмотрим подробное решение второй задачи из ранее опубликованного  сообщения об оценивании решений стереометрических задач на профильном ЕГЭ по математике.
 Задача. Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём ∠BAD+ADC=90. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K – точка пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB=BC=CD=4, а высота пирамиды PABCD равна 9.
Ответ: б) 12.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник AKD, в нем BAD+ADC=90, значит AКD=90.   Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой РК, перпендикулярной основанию. Значит РК – высота пирамиды. Так как РК перпендикулярна АК и DК, то угол ÐAКD является линейным углом двугранного угла между плоскостями PAB и PCD. Значит, они перпендикулярны.

б) Поскольку AB=BC, трапеция ABCD является равнобедренной. Значит, углы при основании равны BAD=ADC=45. По свойству односторонних углов при параллельных AD и BC и секущих АВ и CD имеем КBС=КCВ=BAD=ADC=45. Значит ВК=СК и по теореме Пифагора ВК2+СК2=ВС2. 2ВК2 =16, ВК2=8.
Площадь треугольника КВС равна СК*ВК/2=ВК2/2=8/2=4.
Объём пирамиды КВСР равен SКВС*РК/3=4*9/3=12.
Ответ: б) 12.

Комментариев нет:

Отправить комментарий