Страницы блога

воскресенье, 17 февраля 2019 г.

Расстояние между скрещивающимися прямыми


Один из самых важных и сложных вопросов школьной стереометрии – нахождение расстояния между прямыми. В пространстве возможны три случая взаимного расположения двух прямых: они пересекаются, параллельны или скрещиваются. В первом случае расстояние между двумя прямыми считается равным нулю. Во втором,  чтобы найти расстояние надо из любой точки одной прямой провести перпендикуляр ко второй и измерить его длину. Сложнее всего найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим этот случай более подробно.
Мы знаем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость параллельная другой прямой.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
В задачах профильного ЕГЭ по математике наибольшую трудность вызывает нахождение на чертеже отрезка, длина которого является расстоянием между скрещивающимися прямыми. Вычисление его длины проходит легче.
Рассмотрим несколько примеров, связанных с прямой треугольной призмой.

Пусть нам дана прямая треугольная призма АВСА1В1С1. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и В1С1 равно длине бокового ребра. Такое же расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и А1С1, между параллельными прямыми АВ и А1В1.
Рассмотрим другие прямые. Расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ1 и А1С1 является длина перпендикуляра В1Н, опущенного в треугольнике А1В1С1 из точки В1 на сторону А1С1. Докажем это.
Так как призма прямая, то все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям по определению. То есть прямая СС1перпендикулярна плоскости А1В1С1, значит СС1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой В1Н. Имеем, что В1Н перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и СС1, лежащим в плоскости АСС1, значит она перпендикулярна этой плоскости. Но плоскость АСС1 параллельна ребру  ВВ1 (боковые ребра призмы параллельны).  Значит расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ1 и А1С1 является длина перпендикуляра В1Н.
Так как В1Н перпендикулярна плоскости АСС1, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой А1С. Соответственно, расстоянием между скрещивающимися прямыми ВВ1 и А1С является длина перпендикуляра В1Н.
Рассмотрим более сложный случай. Пусть в той  же призме точка Е – середина ребра ВВ1.
Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми А1С1 и СЕ. Для этого в треугольнике А1В1С1 проведем перпендикуляр В1К. Через  точку К и ребро ВВ1 проведет плоскость, которая пересекает АС в точке Р. Так как плоскость АСС1 параллельна ВВ1, то РК тоже параллельна ВВ1 и РК перпендикулярна А1С1. Значит А1С1 перпендикулярна плоскости РКВ1. Плоскость РКВ1 пересекает плоскость АЕС по прямой РЕ, значит А1С1 перпендикулярна РЕ, тогда и АС перпендикулярна РЕ. В плоскости РКВ1 проведем прямую КН перпендикулярно РЕ, тогда КН перпендикулярна РЕ и АС, значит КН перпендикулярна плоскости АЕС. Длина отрезка КН и является расстоянием между скрещивающимися прямыми А1С1 и СЕ.

Комментариев нет:

Отправить комментарий