Переливаем на 4 балла

На едином государственном экзамене по математике «добавили воды». В последнем сборнике «ЕГЭ 2019: Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий» появилась новая задача олимпиадного уровня на переливания. Рассмотрим вариант №3, задание под номером 19. 

Задача. У Жени нет источника воды, но есть три ведра различных объёмов, в двух их которых есть вода. За один шаг Женя переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Женя через несколько шагов получить в одном из вёдер ровно 6 л воды, если сначала у него были ведра объёмами 5 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 9 л?

б) Мог ли Женя через несколько шагов получить равные объёмы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объёмами 7 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л?

в) Сначала у Жени были ведра объёмами 5 л и 10 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом n литров. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что как бы ни старался Женя, он не сможет получить через несколько шагов ровно 6 л воды в одном из вёдер?

Решение.

а) Составим таблицу переливаний

Переливание	5 л ведро	8 л ведро	9 л ведро
Начальное состояние	5	8	0
1	5	0	8
2	4	0	9
3	4	8	1
4	5	7	1
5	0	7	6

б) Если сначала у Жени были ведра объёмами 7 л и 8 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л, то он не может получить равные объёмы воды во всех ведрах, так как на каждом шаге у него должно быть либо одно полное ведро, либо одно пустое.

в) Рассмотрим случай n =15.  Составим таблицу возможных переливаний

Переливание	5 л ведро	1 л ведро	15 л ведро
Начальное состояние	5	10	0
1	0	10	5
2	0	0	15
3	5	0	10
4	0	5	10
5	5	5	5

Мы перебрали все возможные варианты. Получить 6 л воды в одном ведре невозможно. Переливая (то есть складывая или вычитая) объёмы, кратные числу 5, в вёдра, объёмы которых тоже кратны 5, мы получаем числа, кратные 5, поэтому получить 6 литров невозможно.

Заметим, что если взять n > 15, то таблица переливаний полностью повторится, так как в третье ведро входит вся вода и в третье ведро невозможно налить более 15 л. Таким образом, для любого натурального n ≥ 15 Женя не сможет получить через несколько шагов ровно 6 л воды в одном из вёдер. Наибольшего соответствующего натурального значения n , не существует. Наименьшее – 15.

В сборнике приведён ответ: n = 14, но это наибольшее значение n, при котором можно набрать 6 литров. Покажем это, составим таблицу переливаний

Переливание	5 л ведро	10 л ведро	14 л ведро
Начальное состояние	5	10	0
1	5	0	10
2	1	0	14
3	0	1	14
4	5	1	9
5	0	6	9

ОТВЕТ: а) да; б) нет; в) наибольшего натурального значения n не существует.

В вышеназванном сборнике приведено решения 19 задания из первого варианта.

Задача 2. У Бори нет источника воды, но есть три ведра различных объёмов, в двух их которых есть вода. За один шаг Боря переливает воду из ведра, в котором она есть, в другое ведро. Переливание заканчивается в тот момент, когда или первое ведро опустеет, или второе ведро заполнится. Выливать воду из ведер запрещается.

а) Мог ли Боря через несколько шагов получить в одном из вёдер ровно 2 л воды, если сначала у него были ведра объёмами 4 л и 7 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 8 л?

б) Мог ли Боря через несколько шагов получить равные объёмы воды во всех ведрах, если сначала у него были ведра объёмами 5 л и 7 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом 10 л?

в) Сначала у Боря были ведра объёмами 3 л и 6 л, полные воды, а также пустое ведро объёмом n л. Какое наибольшее натуральное значение может принимать n, если известно, что как бы ни старался Боря, он не сможет получить через несколько шагов ровно 4 л воды в одном из вёдер?

Попробуйте решить ее самостоятельно.